正交补空间

正交补空间（Orthogonal Complement）是线性代数和向量空间理论中的一个重要概念，主要用于描述向量空间中某个子空间相对于整个空间的正交关系。

定义

给定一个向量空间 $V$ 和它的一个子空间 $W$，$W$ 的正交补空间 $W^{\perp }$ 是 $V$ 中所有与 $W$ 中的每个向量都正交的向量构成的集合。用数学语言表达就是：

$$W^{\perp }=\{v\in V:v\cdot w=0,\forall w\in W\}$$

这里的 $\cdot$ 表示点积或内积，这取决于向量空间的具体定义。

性质

1. 维数：如果 $V$ 是有限维的，并且其维数为 $n$，子空间 $W$ 的维数为 $k$，则 $W^{\perp }$ 的维数为 $n-k$。
2. 直和分解：向量空间 $V$ 可以被分解为子空间 $W$ 和它的正交补 $W^{\perp }$ 的直和，即 $V=W\oplus W^{\perp }$。
3. 正交性：任何来自 $W$ 的向量与来自 $W^{\perp }$ 的向量之间的内积都是零。

求解

求解向量空间 $W$ 的直交补空间 $W^{\perp }$ 的基底时，我们需要找到所有与 $W$ 中的所有向量都正交的向量。一个向量 $v$ 与 $W$ 中的所有向量正交的条件是 $v\cdot w=0$ 对于所有 $w\in W$ 都成立。

示例

对于给定的 $W=\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\}$，我们可以通过以下步骤求解 $W^{\perp }$ 的基底：

1. 构建矩阵并转置：首先，将 $W$ 的向量作为矩阵的行，构建一个矩阵 $A$ 并求其转置，以方便计算。

$$A={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

2. 求解齐次方程系统：解齐次线性方程系统 $A^{T}x=0$，其中 $x$ 是我们要找的正交向量。
   这个系统可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+x_4& =0\\ x_2-x_3& =0\end{array}$$

即：

$$\begin{gathered} x_1+x_2+x_4=0 \\ {x}_2=x_3 \end{gathered}$$

3. 参数化解决方案：通过选择自由变量来找到参数化的解。设 $x_2=t$, $x_3=t$, $x_4=s$，则有：

$$x_1+t+s=0\Rightarrow x_1=-t-s$$

因此，解可以表示为：

$$x=\left[\begin{array}{c}-t-s\\ t\\ t\\ s\end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

因此，$W^{\perp }$ 的一个基底是：

$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

这两个向量构成了 $W$ 的直交补空间的基底，因为它们都与 $W$ 中的向量正交，并且在 ${\mathbb{R}}^4$ 中线性无关。