全排列

定义

行列式的全排列指的是对于一个n阶方阵A，将其n个元素按照某种顺序进行排列的所有可能性。每一种排列方式都是矩阵的一个全排列。
$\text{det}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]={\sum }_{\sigma }(-1{)}^{\text{sgn}(\sigma )}\cdot a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \dots \cdot a_{n\sigma (n)}$

其中，$\sigma$ 是对于 $1,2,\dots ,n$ 的全排列，$\text{sgn}(\sigma )$ 是排列 $\sigma$ 的置换符号，$a_{i\sigma (i)}$ 是矩阵元素 $a_{ij}$ 中，$i$ 对应于排列 $\sigma$ 的第 $i$ 个位置。这是行列式全排列的严格表示。