基本方程：基尔霍夫电压定律
V_L + V_C = 0
代入电压表达式：
L (di/dt) + Q/C = 0
由于 i = dQ/dt，代入得：
L (d²Q/dt²) + Q/C = 0
这是一个二阶齐次微分方程：
d²Q/dt² + (1/LC) Q = 0
令角频率：
ω = 1 / √(LC)
方程变为：
d²Q/dt² + ω² Q = 0
这是标准简谐振动方程，其解为：
Q(t) = Q₀ cos(ω t)
求电流 i(t)
i(t) = dQ/dt = -Q₀ ω sin(ω t)
所以：
i(t) = -Q₀ ω sin(t / √(LC))
电容电压 V_C(t) 和 电感电压 V_L(t)
电容电压：
V_C(t) = Q(t)/C = (Q₀/C) cos(ω t)
即：V_C(t) = V₀ cos(t / √(LC))，其中 V₀ = Q₀ / C
电感电压：
V_L(t) = L (di/dt) = L d/dt [ -Q₀ ω sin(ω t) ]
= -L Q₀ ω² cos(ω t)
由于 ω² = 1 / (LC)，所以：
V_L(t) = -Q₀ / C · cos(ω t) = -V₀ cos(ω t)
因此：
V_L(t) = -V_C(t)
总结：能量在电感与电容间交换
系统周期：T = 2π √(LC)
频率：f = 1 / (2π √(LC))
角频率：ω = 1 / √(LC)
总结公式一览：
量：电荷 Q(t)
表达式：Q₀ cos(t / √(LC))
说明：电容上的电荷随时间简谐振荡
量：电流 i(t)
表达式：- Q₀ · (1 / √(LC)) · sin(t / √(LC))
说明：回路中电流为电荷导数
量：电容电压 V_C(t)
表达式：Q₀ / C · cos(t / √(LC))
说明：与电荷成正比，振荡
量：电感电压 V_L(t)
表达式：- Q₀ / C · cos(t / √(LC))
说明：与电容电压相反
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电容储能公式如下：
U_C = (1/2) · C · V_C²
由于电容上的电压 V_C = Q / C，所以也可以写为：
U_C = (1/2) · Q² / C
这表示：当电容器带有电荷时，它储存的能量与电荷的平方成正比。
二、电感器的能量（磁场能量）
电感储能公式如下：
U_L = (1/2) · L · i²
表示电感器储存的磁场能与电流的平方成正比。
三、总能量守恒
由于是无阻尼振荡，电容和电感之间的能量不断转换，但总能量恒定不变。
总能量表达式为：
U_total = U_C + U_L = (1/2) · C · V_C² + (1/2) · L · i²
结合 Q(t) = Q₀ cos(ωt)、i(t) = -Q₀ ω sin(ωt)，我们可以写出：
-
电容能量：
U_C(t) = (1/2) · Q(t)² / C
= (1/2) · Q₀² cos²(ωt) / C -
电感能量：
U_L(t) = (1/2) · L · i(t)²
= (1/2) · L · Q₀² · ω² · sin²(ωt)
因为 ω² = 1 / LC，所以：
U_L(t) = (1/2) · Q₀² · sin²(ωt) / C
所以总能量：
U_total = (1/2) · (Q₀² / C) · (cos²(ωt) + sin²(ωt)) = (1/2) · Q₀² / C