RC 电路中电容的充电与放电过程推导（分离变量法，含 i(t)、Q(t)、V_C(t)）
一、电容充电过程（电源 V 接入 RC 串联电路）
设初始时刻电容无电荷（Q(0) = 0），电容与电阻串联连接到电压源 V，分析如下：
KVL 基本方程：
V = iR + V_C = iR + Q/C
由于 i = dQ/dt，代入得：
V = R dQ/dt + Q/C
整理后：
dQ/dt = (1/R)(V - Q/C)
分离变量：
dQ / (V - Q/C) = (1/R) dt
令 u = V - Q/C，则 dQ = -C du，换元积分：
∫ dQ / (V - Q/C) = -C ∫ (1/u) du = (1/R) ∫ dt
结果为：
-C ln|V - Q/C| = t/R + k
整理后指数化：
V - Q/C = A e^(-t/RC)
⇒ Q(t) = C (V - A e
初始条件 Q(0) = 0 得：
0 = C (V - A) ⇒ A = V
最终电荷表达式为：
Q(t) = C V (1 - e
电流 i(t)
i(t) = dQ/dt = C V (1/RC) e^(-t/RC)
即：i(t) = (V/R) e
电容电压 V_C(t)
V_C(t) = Q(t)/C = V (1 - e
二、电容放电过程（RC 串联，自由放电）
电容初始带电 Q(0) = Q₀，断开电源，只剩下电阻和电容构成闭环：
KVL 方程：
Q/C + iR = 0
⇒ i = dQ/dt = -Q/(RC)
分离变量：
dQ/Q = -1/(RC) dt
积分：
ln|Q| = -t/(RC) + k
⇒ Q(t) = A e
初始条件 Q(0) = Q₀ 得：
Q(t) = Q₀ e
电流 i(t)
i(t) = dQ/dt = -Q₀/(RC) e
电容电压 V_C(t)
V_C(t) = Q(t)/C = (Q₀/C) e
时间常数：
τ = RC
0.6321
约在 t = 5τ 后进入稳态（小于 1% 误差）
时间常数越大，充放电越慢
总结公式一览：
过程：充电 / 放电
电荷 Q(t)：CV (1 - e^(-t/RC)) / Q₀ e^(-t/RC)
电流 i(t)：(V/R) e^(-t/RC) / -Q₀/(RC) e^(-t/RC)
电容电压 V_C(t)：V (1 - e^(-t/RC)) / (Q₀/C) e