磁场

靠近磁铁磁场变大
直导线产生磁场

圆环电流产生磁场
设电流 I 在半径为 R 的圆环中匀速流动，方向为逆时针。
取电流元 dℓ = R dθ θ̂，位置在圆周上。
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元在圆心产生磁场：
dB = (μ₀ / 4π) · (I dℓ × r̂) / r²
其中 r̂ 为从电流元指向圆心的单位向量，且 |r| = R。
在圆心处，r̂ 始终指向圆心，dℓ 垂直于 r̂，因此
|dB| = (μ₀ / 4π) · (I |dℓ|) / R²
= (μ₀ / 4π) · (I R dθ) / R²
= (μ₀ I / 4π R) dθ
由于整个圆周处处对称，磁场方向相同，均垂直于圆面，设为 ẑ 方向。
因此
B = ∫₀^{2π} dB
= (μ₀ I / 4π R) ∫₀^{2π} dθ
= (μ₀ I / 4π R) · 2π
= μ₀ I / (2 R)

Solenoid产生磁场
设螺线管半径为 R，匝数密度为 n（单位长度内有 n 匝），电流为 I。
我们利用安培环路定理： ∮ B · dℓ = μ₀ I_enc
取一矩形安培环路，位于螺线管内部，与螺线管轴线平行，其一边长度为 l，完全包围 l 长度的螺线管。
在该环路中，仅有与轴线平行的部分有磁场贡献，且磁场方向恒定（设为 ẑ 方向）：
∮ B · dℓ = B · l
穿过该环路的电流总量为： I_enc = n l · I
代入安培定律： B · l = μ₀ · n l · I
因此： B = μ₀ n I

半圆电路 受到磁场力
F = ∫ dF × sinθ
= ∫ B₀ I sinθ dl
= ∫₀^π B₀ I (R dθ) sinθ
= B₀ I R (-cosπ) - B I R (-cos0)
= -2 B₀ I R

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名称：高斯定律（电）
方程：∮ E · dA = Q_inside / ε₀
含义：穿过闭合曲面的电通量等于内部总电荷除以 ε₀

名称：高斯定律（磁）
方程：∮ B · dA = 0
含义：任意闭合曲面磁通量为0，没有磁单极子

名称：法拉第感应定律
方程：∮ E · dl = - dΦ_B / dt
含义：磁通量变化会在线圈中产生感应电动势

名称：安培-麦克斯韦定律
方程：∮ B · dl = μ₀ I_enc + μ₀ ε₀ dΦ_E / dt
含义：环路磁场与通过的电流和电通量变化有关

电路类型	磁场位置	公式（简化）	方法
圆环电流	圆心	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$	毕奥-萨伐尔
直导线	离导线 $r$ 处	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$	安培定律
螺线管（Solenoid）	内部	$B={\mu }_{0}nI$	安培定律
Toroid	环内距 $r$	$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$	安培定律
矩形线圈	轴线或中心	无通用公式，常定性分析	毕奥-萨伐尔
折线电流	拐角附近	分段积分	毕奥-萨伐尔