Capacitor

RC电路充电

电荷 $Q(t)$ 随时间变化

$$Q(t)=C{V}_0\left(1-e^{-t/RC}\right)$$

其中：

• $C$ 是电容
• $V_0$ 是电源电压
• $R$ 是电阻
• $t$ 是时间
• 时间常数 $\tau =RC$

2. 电流 $I(t)$ 随时间变化

$$I(t)=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/RC}$$

• 充电初始时刻（$t=0$）电流最大，为 $I_0=\frac{V_0}{R}$
• 随时间增长，电流指数衰减至零

3. 电压 $V(t)$ 随时间变化

$$V(t)=V_0\left(1-e^{-t/RC}\right)$$

• 初始时刻（$t=0$），$V(0)=0$（电容尚未充电）
• 充电足够长时间后（$t\to \infty$），$V(t)\to V_0$（电容完全充满）

时间常数 $\tau =RC$ 的意义

• 在 $t=\tau$ 时，电压、电荷达到 63.2% ($1-1/e$) 的最终值 $V_0$
• 约 $5\tau$ 后，电容几乎完全充满（>99%）

---

RC电路放电

电荷 $Q(t)$ 随时间变化

$$Q(t)=Q_0{e}^{-t/RC}$$

其中：

• $Q_0$ 是初始电荷
• $R$ 是电阻
• $C$ 是电容
• $t$ 是时间

电流 $I(t)$ 随时间变化

$$I(t)=-\frac{dQ}{dt}=\frac{Q_0}{RC}{e}^{-t/RC}$$

电流方向指向放电路径。

电压 $V(t)$ 随时间变化

$$V(t)=\frac{Q(t)}{C}=V_0{e}^{-t/RC}$$

其中 $V_0=\frac{Q_0}{C}$ 是初始电压。

时间常数 $\tau$

$$\tau =RC$$

时间常数 $\tau$ 代表放电过程的特征时间。在 $t=\tau$ 时，电荷、电流和电压衰减至初始值的约 36.8% ($1/e$)。