电势

带电物体的电场（使用高斯定理）

根据高斯定理（高斯定律）：

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\text{in}}}{{\epsilon }_0}$$

对于一个点电荷或球对称电荷分布，在半径为 $r$ 的球面上，由对称性：

• 电场 $\vec{E}$ 处处指向径向
• 电场大小处处相同

所以左边积分变为：

$$E(4\pi r^2)=\frac{q}{{\epsilon }_0}$$

解出电场大小：

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$$

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带电物体的电势（从无限远积分）

电场和电势的关系是：

$$\Delta V=-\int \vec{E}\cdot d\vec{s}$$

由于电场是径向的，位移也沿径向，积分可以简化为：

$$V(r)-V(\infty )=-{\int }_{\infty }^{r}Edr$$

带入电场表达式：

$$V(r)-0=-{\int }_{\infty }^r\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\right)dr$$

计算积分：

$$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$

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最后总结

• 电场： $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$$
• 电势（以无限远为零）： $$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$