inductor

使用分离变量法推导 RL 电路中电感的充电与放电公式（含 $i(t)$、$V_L(t)$、$Q(t)$）

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🔋 一、电感充电过程（电压源 V 接入 RL 串联电路）

1. 基本方程（KVL）

$$V=L\frac{di}{dt}+Ri$$

移项：

$$L\frac{di}{dt}=V-Ri$$

分离变量：

$$\frac{di}{V-Ri}=\frac{1}{L}dt$$

对两边积分：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{V-Ri}di& =\int \frac{1}{L}dt\\ -\frac{1}{R}\ln |V-Ri|& =\frac{t}{L}+C\end{array}$$

两边同时乘 $-R$：

$$\ln |V-Ri|=-\frac{R}{L}t+C^{\prime }$$

指数化：

$$V-Ri=A{e}^{-\frac{R}{L}t}$$

令 $i(0)=0$ 解常数：

$$V-R\cdot 0=A\Rightarrow A=V$$

最终电流为：

$$\boxed{i(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)}$$

2. 电感电压 $V_L(t)$

$$V_L(t)=L\frac{di}{dt}=L\cdot \frac{V}{R}\cdot \frac{R}{L}{e}^{-\frac{R}{L}t}=\boxed{V{e}^{-\frac{R}{L}t}}$$

3. 电荷 $Q(t)$

$$Q(t)={\int }_0^{t}i(t^{\prime })d{t}^{\prime }={\int }_0^t\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}{t}^{\prime }}\right)d{t}^{\prime }$$ $$Q(t)=\frac{V}{R}\left[t+\frac{L}{R}{e}^{-\frac{R}{L}t}-\frac{L}{R}\right]=\boxed{Q(t)=\frac{V}{R}\left(t-\frac{L}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\right)}$$

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⚡ 二、电感放电过程（RL 自由放电，初始电流 $I_0$）

1. KVL 方程

$$L\frac{di}{dt}+Ri=0$$

移项：

$$\frac{di}{dt}=-\frac{R}{L}i$$

分离变量：

$$\frac{1}{i}di=-\frac{R}{L}dt$$

积分：

$$\ln |i|=-\frac{R}{L}t+C$$

指数化：

$$i(t)=A{e}^{-\frac{R}{L}t}$$

初始条件 $i(0)=I_0$：

$$I_0=A\Rightarrow A=I_0$$

最终电流为：

$$\boxed{i(t)=I_0{e}^{-\frac{R}{L}t}}$$

2. 电感电压

$$V_L(t)=L\frac{di}{dt}=-R{I}_0{e}^{-\frac{R}{L}t}\Rightarrow \boxed{V_L(t)=-R{I}_0{e}^{-\frac{R}{L}t}}$$

3. 电荷 $Q(t)$

$$Q(t)={\int }_0^{t}i(t^{\prime })d{t}^{\prime }={\int }_0^t{I}_0{e}^{-\frac{R}{L}{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }=\frac{L}{R}{I}_0\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$$ $$\boxed{Q(t)=\frac{L}{R}{I}_0\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)}$$

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📌 时间常数

$$\boxed{\tau =\frac{L}{R}}$$

• 描述电流变化的快慢；
• 约在 $t=5\tau$ 时电流基本到达稳态（<1% 误差）。

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✅ 总结表