LC电路

LC 电路中的电荷振荡过程（理想电容 + 电感，无电阻）

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⚙️ 电路描述

LC 电路为：一个理想电容 $C$ 与电感 $L$ 构成的闭合回路，无电阻，形成无源简谐振荡系统。

假设初始时刻 $t=0$，电容电荷为 $Q_0$，电流为 $i(0)=0$，即初始全部能量储存在电容中。

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🧮 推导过程

1. 基本方程：基尔霍夫电压定律

$$V_L+V_C=0$$

代入电压表达式：

$$L\frac{di}{dt}+\frac{Q}{C}=0$$

由于 $i=\frac{dQ}{dt}$，代入：

$$L\frac{d^{2}Q}{d{t}^2}+\frac{Q}{C}=0$$

这是一个二阶齐次微分方程：

$$\frac{d^{2}Q}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}Q=0$$

令角频率：

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

方程变为：

$$\frac{d^{2}Q}{d{t}^2}+{\omega }^{2}Q=0$$

这是标准简谐振动方程，其解为：

$$\boxed{Q(t)=Q_0\cos (\omega t)}$$

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🔄 求电流 $i(t)$

$$i(t)=\frac{dQ}{dt}=-Q_0\omega \sin (\omega t)$$

所以：

$$\boxed{i(t)=-Q_0\omega \sin \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)}$$

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⚡ 电容电压 $V_C(t)$ 和 电感电压 $V_L(t)$

电容电压：

$$V_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{Q_0}{C}\cos (\omega t)\Rightarrow \boxed{V_C(t)=V_0\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)}\text{其中 }{V}_0=\frac{Q_0}{C}$$

电感电压：

$$V_L(t)=L\frac{di}{dt}=L\cdot \frac{d}{dt}\left(-Q_0\omega \sin (\omega t)\right)=-L{Q}_0{\omega }^2\cos (\omega t)$$

因为 ${\omega }^2=\frac{1}{LC}$，所以：

$$V_L(t)=-Q_0\frac{1}{C}\cos (\omega t)=-V_0\cos (\omega t)\Rightarrow \boxed{V_L(t)=-V_C(t)}$$

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🔁 总结：能量在电感与电容间交换

• 系统周期：$T=2\pi \sqrt{LC}$
• 频率：$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
• 角频率：$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

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✅ 总结公式一览

量	表达式	说明
电荷 $Q(t)$	$Q_0\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)$	电容上的电荷随时间简谐振荡
电流 $i(t)$	$-Q_0\cdot \frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot \sin \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)$	回路中电流为电荷导数
电容电压 $V_C(t)$	$\frac{Q_0}{C}\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)$	与电荷成正比，振荡
电感电压 $V_L(t)$	$-\frac{Q_0}{C}\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)$	与电容电压相反