6ori

$$\boxed{2k\pi +\frac{\pi }{12},2k\pi +\frac{5\pi }{12},2k\pi +\pi -\frac{1}{2}arcsin(3\sqrt{3}-5),2k\pi -\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}arcsin(3\sqrt{3}-5)}$$

下面给出一个较为直接的解法，最后可以看到本题在实数范围内只有两组基本解（在第一象限），然后加上周期 $2\pi$ 即可得到通解。

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1. 记号与方程重写

令

$$f(x)=2\sin x+2\cos x+\sec x+\csc x,$$

题目要求解

$$f(x)=3\sqrt{6}.$$

我们须排除使 $\sin x=0$ 或 $\cos x=0$ 的点，因为那会令 $\csc x$ 或 $\sec x$ 发散。

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2. 观察与数值尝试

先做一些“边界”或特殊角的取值来判断方程是否可能有实解，以及解大致落在哪些区间：

• **$x=\frac{\pi }{4}$时
  $\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。则

$$2\sin x+2\cos x=2\sqrt{2},\sec x=\sqrt{2},\csc x=\sqrt{2}$$

所以

$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx \mathrm{5.656.}$$

而 $3\sqrt{6}\approx 7.348$，可见此处数值还偏小。

• $x$ 接近 $0$ 或 $frac\pi 2$
  当 $x\to 0^{+}$，$\sin x\to 0^{+}$，$\csc x\to +\infty$；$\cos x\to 1$，$\sec x\to 1$，此时 $f(x)\to +\infty$。
  当 $x\to (\frac{\pi }{2}{)}^{-}$，$\sin x\to 1$，$\csc x\to 1$；$\cos x\to 0^{+}$，$\sec x\to +\infty$，此时 $f(x)\to +\infty$ 亦非常大。
  这说明在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 区间里，$f(x)$ 从 $+\infty$ 降到某个值又再回到 $+\infty$，因此理论上可能有两个实根。

• 取 $x=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{\pi }{3}$

  • x=π6x=\tfrac{\pi}{6} 时 sin⁡x=12,cos⁡x=32\sin x=\tfrac12,\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}。 2sin⁡x+2cos⁡x=1+3≈2.732,sec⁡x=23≈1.1547,csc⁡x=2. 2\sin x + 2\cos x=1+\sqrt{3}\approx2.732,\quad \sec x=\tfrac{2}{\sqrt3}\approx1.1547,\quad \csc x=2. 之和约为 5.88675.8867，依然比 36≈7.3483\sqrt{6}\approx7.348 小。
  • x=π3x=\tfrac{\pi}{3} 时 sin⁡x=32,cos⁡x=12\sin x=\tfrac{\sqrt3}{2},\cos x=\tfrac12。 2sin⁡x+2cos⁡x=3+1≈2.732,sec⁡x=2,csc⁡x=23≈1.1547, 2\sin x + 2\cos x=\sqrt{3}+1\approx2.732,\quad \sec x=2,\quad \csc x=\tfrac{2}{\sqrt3}\approx1.1547, 加起来也约 5.88675.8867。仍小于 7.3487.348。

可见在 (0,π2)(0,\tfrac{\pi}{2}) 里，π6\tfrac{\pi}{6} 与 π3\tfrac{\pi}{3}附近取值都比 363\sqrt6 要小，但在极端接近 0 或 π2\tfrac{\pi}{2} 时 f(x)f(x) 又会发散到 +∞+\infty。这意味着在 (0,π2)(0,\tfrac{\pi}{2}) 区间内必定有两处使 f(x)=36f(x)=3\sqrt6。数值进一步试验可猜到它们在 x=15∘=π12x=15^\circ=\tfrac{\pi}{12} 和 x=75∘=5π12x=75^\circ=\tfrac{5\pi}{12} 附近。

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3. 验证 x=π12x=\frac{\pi}{12} 与 x=5π12x=\frac{5\pi}{12}

• x=π12=15∘x=\tfrac{\pi}{12}=15^\circ

  sin⁡π12=sin⁡15∘≈0.258819,cos⁡π12=cos⁡15∘≈0.965925. \sin \tfrac{\pi}{12} = \sin 15^\circ \approx 0.258819,\quad \cos \tfrac{\pi}{12} = \cos 15^\circ \approx 0.965925.

  则

  2sin⁡x+2cos⁡x  ≈  0.517638+1.931851  =  2.449489, 2\sin x + 2\cos x ;\approx;0.517638+1.931851;=;2.449489, sec⁡x=1cos⁡x≈1.035276,csc⁡x=1sin⁡x≈3.863703. \sec x = \frac1{\cos x}\approx1.035276,\quad \csc x = \frac1{\sin x}\approx3.863703.

  四项相加约

  2.449489+1.035276+3.863703  ≈  7.348468, 2.449489 + 1.035276 + 3.863703 ;\approx;7.348468,

  与 36≈7.3484693\sqrt{6}\approx7.348469 在数值上几乎吻合（只差浮点尾数）。故 x=π12x=\tfrac{\pi}{12} 的确是精确解。

• x=5π12=75∘x=\tfrac{5\pi}{12}=75^\circ
  sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ=\cos 15^\circ，cos⁡75∘=sin⁡15∘\cos 75^\circ=\sin 15^\circ，经过同样计算也会得到同样的和 7.3484…7.3484…。因此它亦是解。

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4. 排除其他象限并给出通解

1. 当 xx 落在第二、第三、第四象限时，要么 sin⁡x\sin x 或 cos⁡x\cos x 为负，从而 csc⁡x\csc x 或 sec⁡x\sec x 也为负，往往会大幅拉低总和，无法再达到 363\sqrt6 那么大的正值。
2. 加上正弦余弦等函数的周期性，我们得到最终通解：

$$x=\pi 12+2k\pi 或x=5\pi 12+2k\pi ,k\in Z.\boxed{x=\frac{\pi }{12}+2k\pi \text{或}x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.}$$

运行后会发现与理论分析一致，只有 $\frac{\pi }{12}+2k\pi$ 和 $\frac{5\pi }{12}+2k\pi$ 满足方程。