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地形風流模擬

10 min read

下面給你一個「能即時查詢、幾乎零延遲」的做法集合：你可以用近似 CFD 的方式把風場先算成一個可查詢的 3D 向量場（vector field），之後「取任意位置與高度」就只是 O(1) 的插值，不會卡。

我會給兩條路線：(A) 2.5D 超快方案（最推薦，遊戲/互動最穩）與 (B) 真 3D 穩定流體方案（更真但成本更高，建議上 GPU）。

你要的問題抽象成什麼

你有：

  • 地形高度圖（heightmap）：100×200（可視為 H[x,y]）

  • 風從左吹到右：左邊界（x=0）整條 100 格都有固定入流 u = (U0, 0, 0)

  • 邊界風速固定：外框（所有邊界）給定 Dirichlet 邊界（Dirichlet boundary condition）

  • 風是三維：你要任意 (x,y,z) 輸出 v(x,y,z) = (u,v,w)（wind velocity vector）

你真正需要的是：

  1. 先生成/預計算一個可用的 3D 風場 V[x,y,z]

  2. 查詢時做 trilinear interpolation（三線性插值） 即可，幾乎無成本

(A) 2.5D「超快、零延遲」風場：2D 壓力投影 + 地形抬升（orographic lift）

這條路線在遊戲裡超常用：把主要計算放在 2D 平面（x,y）做**不可壓縮（incompressible）**的水平風，再用地形坡度把垂直分量 w 補出來，形成「3D 感」。

A1. 先做 2D 的水平風：解一個 Poisson（Poisson equation）得到無散度風場

令水平速度 U(x,y) = (u,v)。

  1. 初始化

  • 全域初始：U = (U0, 0)（或逐步從左到右衰減也可）

  • 邊界固定：外框 U = U_boundary（你說邊緣全固定就直接套）

  1. 加入地形阻力（terrain drag / permeability）

    地形越陡、越高，越容易造成近地層減速、繞流：

  • 你可以做一張「阻力圖」D[x,y]，例如

    • slope = |∇H|（gradient / slope）

    • D = d0 + d1 * slope + d2 * normalize(H)

  • 然後每輪把速度做衰減：U ← U * exp(-Ddt)（或 U -= DU*dt）

  1. 壓力投影（pressure projection）讓風「守恆」

    用 Stable Fluids（Stable Navier–Stokes, Jos Stam）常見的做法：

  • 先算散度：div = ∂u/∂x + ∂v/∂y

  • 解 Poisson：∇²p = div

  • 用壓力梯度修正：U ← U - ∇p

這一步保證水平場近似不可壓縮，流線會自然繞山、穿谷。

重點：Poisson 可以用少量迭代就夠

因為你要的是「看起來合理 + 可查詢」，不是科研精度。

常用：Jacobi / Gauss-Seidel（迭代 20~60 次）就很平滑了。100×200 的 2D Poisson 超快。

A2. 把 2D 變成 3D：用地形造成的垂直速度 

w

你要的 w 不必真的解 3D Navier–Stokes，也能非常像：

方法 1：坡向抬升（orographic lift）

  • 風撞上迎風坡會上升：

    w_surface(x,y) = k * dot(U, ∇H)

    • ∇H 是坡度方向（越陡越大）

    • dot(U, ∇H) 表示風是否往上坡吹（迎風為正，背風為負）

方法 2：用「水平收縮/發散」推 w（mass continuity 近似）

  • 你已經做了水平近似無散度，但加了阻力/障礙後局部仍會有「有效散度」，可做：

    w_surface = -α * div_effective

    直覺：水平被迫收縮 → 只能向上走。

A3. 做高度方向的剖面（vertical profile）讓它真的像 3D

你提到「縱深 140–170」，我用最常見的方式處理：把 z 當高度（height / altitude），只關心某個高度帶或幾層。

做法：把 (u,v,w) 從地表往上做衰減/增強：

  • 近地層風速隨高度增強，常用 power law（power-law profile）：

    • speed(z) = speed_ref * (z / z_ref)

  • 垂直分量 w 通常在高處快速衰減：

    • w(z) = w_surface * exp(-z / z_w)

最後得到：

  • u(x,y,z) = u2D(x,y) * f(z)

  • v(x,y,z) = v2D(x,y) * f(z)

  • w(x,y,z) = w_surface(x,y) * g(z)

A4. 「無延遲查詢」的關鍵：預烘焙成 3D 格點場 + 插值

你要做到查詢瞬間回 (u,v,w)，就不要現算 PDE。

建議：

  • 選一個 z 層數 Nz：例如 16 或 24 層（夠用了）

  • 預先算出 V[x,y,zLayer] 存起來

  • 查詢 (x,y,z)：

    1. 找到四周格點

    2. 做 trilinear interpolation（三線性插值）

    3. 回傳 Vector3

記憶體估算（很小）

100×200×16 = 320k cells

每格存 3 個 float（Float32）= 12 bytes

總共 ~3.8 MB，超輕。

(B) 真 3D「更像 CFD」：Stable Fluids / LBM（建議 GPU）

如果你想要更真：山後渦流、回捲、垂直剪切更自然，那就做 3D solver。

B1. 3D Stable Fluids（Navier–Stokes 近似）

每個時間步：

  1. Add force（加入外力，如主風、浮力）

  2. Advect（semi-Lagrangian advection，半拉格朗日平流）

  3. Diffuse（黏性擴散，可選）

  4. Project（3D Poisson 壓力投影，強制無散度）

地形作為固體（solid cells）：

  • 若 z < H[x,y] 則該 cell 為 solid，速度強制 0 或做 no-slip（no-slip boundary）

但 CPU 上 100×200×(例如 32) 會比較吃力，尤其 Poisson 3D。

若你用 WebGPU / Compute Shader（compute shader）或 Unity Compute Shader 就非常爽。

B2. Lattice Boltzmann Method（LBM）

LBM（例如 D3Q19）在格點流體上很穩、平行化很好做，GPU 極強。

缺點：實作複雜一點，但效果漂亮。

我會怎麼選（我的建議）

  • 你明確要求「無延遲、不能卡」而且格子只有 100×200：

    ✅ 選 (A) 2.5D：2D Poisson 幾十次迭代就能得到很平滑的繞流效果，再用坡度補 w + 高度剖面。

    查詢是 O(1) 插值，幾乎 0 成本。

  • 只有在你要「風洞級」渦街（vortex shedding）那種視覺，才上 (B) 真 3D，並且最好 GPU。

具體落地：你需要的資料結構與流程（可直接照做）

Step 0：網格與座標

  • 地圖索引：x∈[0,99], y∈[0,199]

  • 世界座標：X = x * cellSize, Y = y * cellSize

  • 高度：H[x,y]（你給的那些數就是每格高度）

Step 1：預處理

  • 算梯度（gradient）∂H/∂x, ∂H/∂y（用 central difference）

  • 算坡度 slope = sqrt(gx^2 + gy

  • 建阻力圖 D[x,y] = d0 + d1slope + d2normalize(H)

Step 2：初始化水平風 

U(x,y)

  • U = (U0,0) 全圖

  • 邊界固定（Dirichlet）：

    • 左邊界：U=(U0,0)

    • 其他邊界：你說固定，就給你設定值（可同 U0 或稍微弱）

Step 3：迭代求穩態（steady state）

跑 N 次（例如 60~200 次，取決於你想多平滑；這是預計算，甚至可以在載入畫面做）

每次：

  1. 阻力衰減：U ← U - dt * D * U

  2. 壓力投影：

    • div = du/dx + dv/dy

    • 解 ∇²p = div（Jacobi/Gauss-Seidel 迭代 30~80 次）

    • U ← U - ∇p

Step 4：生成垂直分量 

w_surface(x,y)

  • w_surface = k * dot(U, ∇H)（迎風上升、背風下沉）

  • 可加 clamp 限制：w_surface = clamp(w_surface, -wMax, wMax)

Step 5：擴展到 Nz 層，得到 3D 場 

V[x,y,zLayer]

對每個 zLayer（例如 z=0..15）：

  • 設 z = zMin + (zMax-zMin)*layer/(Nz-1)

    （你提到 140–170，就可以讓 zMin=140, zMax=170）

  • f(z)（水平剖面）：power law

  • g(z)（垂直剖面）：exp decay

  • V = (u2Df, v2Df, w_surface*g)

Step 6：查詢（即時）

輸入 (x,y,z)：

  • 找到最近的 (ix,iy,iz) 與比例 (tx,ty,tz)

  • 在 V 做 trilinear interpolation

  • 回傳 Vector3(u,v,w)，風速（wind speed）就是 |V|

你會立刻得到的效果（直覺）

  • 風遇到「山脊」：水平變慢並繞流，迎風坡 w>0 上升

  • 山谷：水平會被導流（channeling effect），速度增強

  • 背風側：w<0 下沉，且可以加一點渦旋噪聲（curl noise）做「亂流感」

進一步讓它更「真」但仍然快（加分技巧）

  1. 加一個湍流貼圖（turbulence / curl noise）

    在背風側（lee side）或坡度大處，加小幅度旋度噪聲，視覺會很像真 CFD，但成本幾乎 0。

  2. 把阻力做成「高度相關」

    近地層阻力大、高空阻力小：D(z) = D0 * exp(-z/z0)

    這樣高度剖面會更自然。

  3. 分區域預算

    你只要查詢玩家附近，就只烘焙局部 3D tiles（tile cache），做到更低記憶體、動態地圖也能跑。

你現在可以直接做的最小可行版本（MVP）

如果你今天就要跑起來，而且要快到「完全不會卡」：

  • Nz=16

  • 2D Poisson：每次投影用 Jacobi 40 iter

  • 外層穩態迭代：80 iter

  • w_surface = k * dot(U, ∇H)

  • 查詢用三線性插值

這套基本上就能在載入時幾十毫秒～數百毫秒內完成（看你用 JS/TS/Unity/Java），之後每次查詢是「幾個 array 讀取 + 插值」，完全無延遲。

如果你告訴我你是要在 Web（TS + Three.js/WebGL/WebGPU）、Unity、還是 Java 裡跑，我可以把上面這套直接變成你可用的具體代碼結構（包含：資料陣列 layout、Poisson solver 迭代寫法、邊界處理、以及 getWind(x,y,z) 的查詢函式），並按照你要求的「整段可直接貼進去用」的風格給你。

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