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用麥克勞林展開：
\sin u=u-\frac{u^3}{3!}+\frac{u^5}{5!}-\frac{u
令 u=2x
\sin(2x^5)=2x^5-\frac{(2x^5)^3}{3!}+\frac{(2x^5)^5}{5!}-\frac{(2x^5)
=2x^5-\frac{8x^{15}}{6}+\frac{32x^{25}}{120}-\frac{128x^{35}}{5040}+\cdots =2x^5-\frac{4}{3}x^{15}+\frac{4}{15}x^{25}-\frac{8}{315}x
再乘上 3x
f(x)=3x^4\sin(2x^5) =6x^9-4x^{19}+\frac{4}{5}x^{29}-\frac{8}{105}x
所以前四個非零項是：
\boxed{6x^9-4x^{19}+\frac{4}{5}x^{29}-\frac{8}{105}x
用
e^u=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u
令 u=2x
e^{2x^5}=1+2x^5+\frac{(2x^5)^2}{2!}+\frac{(2x^5)^3}{3!}+\cdots =1+2x^5+2x^{10}+\frac{4}{3}x
乘上 3x
3x^4 e^{2x^5}=3x^4+6x^9+6x^{14}+4x
再减去 6：
f(x)=3x^4 e^{2x^5}-6=-6+3x^4+6x^9+6x^{14}+4x
所以前四个非零项是：
\boxed{-6+3x^4+6x^9+6x
因为
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(t+1)^{n+1}}{(2n+2)!},\qquad G(x)=\int_{-1}^{x} f(t),dt
对幂级数逐项积分（在这里合法），得到
G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+2)!}\int_{-1}^{x}(t+1)
令 u=t+1，则从 t=-1 到 t=x 对应 u:0\to x+1，所以
\int_{-1}^{x}(t+1)^{n+1}dt=\int_{0}^{x+1}u^{n+1}du=\frac{(x+1)
因此 G(x) 在 x=-1 处的幂级数通项是
\boxed{,G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(x+1)
把前几项写出来（取 n=1,2,3,4）：
-
n=1:; -\dfrac{(x+1)^3}{3\cdot 4!}=-\dfrac{(x+1)
-
n=2:; +\dfrac{(x+1)^4}{4\cdot 6!}=+\dfrac{(x+1)
-
n=3:; -\dfrac{(x+1)^5}{5\cdot 8!}=-\dfrac{(x+1)
-
n=4:; +\dfrac{(x+1)^6}{6\cdot 10!}=+\dfrac{(x+1)
所以 前四个非零项为
\boxed{ G(x)=-\frac{(x+1)^3}{72}+\frac{(x+1)^4}{2880}-\frac{(x+1)^5}{201600}+\frac{(x+1)^6}{21772800}+\cdots }
（也可把通项改写成从 k=3 起：令 k=n+2，则 G(x)=\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{k-2}\dfrac{(x+1)
已知
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(t+2)^n}{n+2},\qquad G(x)=\int_{-2}^{x} f(t),dt
1) 逐项积分得到 G(x) 的幂级数（关于 x=-2**）**
G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+2}\int_{-2}^{x}(t+2)
而
\int_{-2}^{x}(t+2)^n,dt=\frac{(x+2)
所以通项为
\boxed{ G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x+2)^{n+1}}{(n+1)(n+2)} }
（注意：因为下限是 -2，所以 G(-2)=0，没有常数项。）
2) 前四个非零项（取 n=1,2,3,4**）**
-
n=1: ;(+)\dfrac{(x+2)^2}{(2)(3)}=\dfrac{(x+2)
-
n=2: ;(-)\dfrac{(x+2)^3}{(3)(4)}=-\dfrac{(x+2)
-
n=3: ;(+)\dfrac{(x+2)^4}{(4)(5)}=\dfrac{(x+2)
-
n=4: ;(-)\dfrac{(x+2)^5}{(5)(6)}=-\dfrac{(x+2)
因此
\boxed{ G(x)=\frac{(x+2)^2}{6}-\frac{(x+2)^3}{12}+\frac{(x+2)^4}{20}-\frac{(x+2)^5}{30}+\cdots }
若你想把通项改写成从幂次 k 开始也行：令 k=n+1\ge2，则
G(x)=\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{(x+2)