偏导数

偏导数定义

设$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$，而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$，相应的函数增量 为:$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$，若

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

则称此极限为$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导函数。记作:

$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}$$

$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_{0}y=y_0}$
$zx{|}_{x=x_0,y=y_0}$
$f_x(x_0,y_0)$

• 对x的偏导函数

$$f_x^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

• 对y的偏导函数

$$f_y^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

• 几何意义: 多元函数在某一坐标轴上的切线斜率。

计算方法

分别对每个自变量求偏导函数，其他自变量视为常数。

偏导函数定义

若$z=f(x,y)$在$D$内每一个点$(x,y)$处对$x$的偏导函数都存在 ，则这个偏导函数就是$x,y$的函数，其就称为$\delta =f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数 (偏导数, 根据导数中提到的语义污染, 为了不产生歧义, 本章节使用偏导函数表示), 记作

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},f_x(x,y)$$

高阶偏导函数

对于二元函数$z=f(x,y)$，根据求导方向和顺序不同，有一组四个正交的二阶偏导函数
$(1)\frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2})=f_{xx}(x,y)$
$(2)\frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2})=f_{xy}(x,y)$
$(3)\frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2})=f_{yx}(x,y)$
$(4)\frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2})=f_{yy}(x,y)$
其中(2),(3)分别对不同基底求导, 称为混合偏导函数
二阶及以上阶数的偏导函数统称为高阶偏导函数

定理

如果多元函数$z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数在定义区域$D$连续,则两者必定相等, 高阶混合偏导函数与求导次序无关

在某些情况下，使用海塞矩阵表示四个偏导函数的作用

海塞矩阵

对于二元函数 $f(x,y)$，海塞矩阵定义如下：

$$H=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)$$

海塞矩阵可以用于判断多元函数极值和鞍点。

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应用

• 在最优化问题中，通过偏导函数找到函数的极值点。
• 在物理学、经济学等领域，偏导函数用于分析多变量问题。
• 根据偏导数可以定义拉普拉斯方程