多元隐函数求导

学习导语

本节讨论隐函数定理在多元求导中的应用.
当多个变量通过方程 $F(x,y,z,\dots )=0$ 相关联时,
即使函数形式无法显式写出, 仍可以通过偏导数关系确定一个变量对其他变量的变化率.
这是多元微分法的重要工具, 其逻辑基础源于连续性与可微性.

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背景

在显函数 $y=f(x)$ 的情形中, 求导规则直接给出 $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$.
然而在隐函数关系 $F(x,y)=0$ 中, $y$ 不一定能显式表示,
但若局部可表示为 $y=f(x)$, 仍然可以利用偏导数得到导数公式。
这种思路推广到高维后, 就是多维隐函数定理。

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二维情形

隐函数定理 (二维)

设函数 $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续可微,
且满足 $F(x_0,y_0)=0$, 以及

$$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\ne 0$$

则存在邻域 $U(x_0)$, 其中可唯一确定一个连续可微函数 $y=f(x)$,
使得 $F(x,f(x))=0$.
此时 $y$ 对 $x$ 的导数为：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$

示例: 二维情形

假设有隐函数 $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$，我们想找到 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

1. 计算 $F$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2-1)=2x$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2-1)=2y$$
2. 代入隐函数定理公式： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$

该结果说明在圆 $x^2+y^2=1$ 上, 切线斜率随位置变化而不同。

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三维情形

若 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 可微, 且

$$\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0,$$

则存在邻域可表示 $z=f(x,y)$, 且

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}.$$

这些偏导描述了隐曲面 $F(x,y,z)=0$ 在各方向上的倾斜程度。
几何上, 它们对应于曲面上法向方向与坐标平面的夹角变化率。

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多方程组情形

若有 $m$ 个方程：

$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\\ F_2(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\\ ⋮\\ F_m(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\end{array}$$

并且在点 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)$ 处满足雅可比行列式

$$J_y=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m}\end{array}\right|\ne 0,$$

则可以在该点附近唯一地确定连续可微的隐函数：

$$y_i=f_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,m.$$

此时导数矩阵可表示为：

$$\frac{\partial (y_1,\dots ,y_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}=-J_y^{-1}{J}_x,$$

其中 $J_x$ 为 $\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\right)$ 组成的雅可比矩阵。

示例: 方程组情形

假设我们有两个隐函数 $F(x,y,u,v)=0$ 和 $G(x,y,u,v)=0$，我们希望计算偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$、$\frac{\partial v}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$。

$$F(x,y,u,v)=u^2+v^2-x^2-y^2=0$$ $$G(x,y,u,v)=uv-xy=0$$

1. 定义雅可比行列式 (条件)

我们关心 $u,v$ 是否能表示为 $x,y$ 的函数. 根据定理, 需要检验 $u,v$ 相关的雅可比行列式 $J_{(u,v)}$ (即 $J_y$):

$$J_y=D=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2u& 2v\\ v& u\end{array}\right|$$

其行列式 $D$ 为：

$$D=(2u)(u)-(2v)(v)=2(u^2-v^2)$$

只要 $u^2\ne v^2$, 隐函数定理即适用。

2. 计算偏导数 (使用克拉默法则)

根据隐函数定理 (或使用克拉默法则求解线性方程组), 我们可以求出各个偏导数。

(求 $\frac{\partial u}{\partial x}$)

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{D}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=-\frac{1}{2(u^2-v^2)}\left|\begin{array}{cc}-2x& 2v\\ -y& u\end{array}\right|=-\frac{(-2xu)-(-2yv)}{2(u^2-v^2)}=\frac{xu-yv}{u^2-v^2}$$

(求 $\frac{\partial v}{\partial x}$)

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{D}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial x}\end{array}\right|=-\frac{1}{2(u^2-v^2)}\left|\begin{array}{cc}2u& -2x\\ v& -y\end{array}\right|=-\frac{(-2uy)-(-2xv)}{2(u^2-v^2)}=\frac{uy-xv}{u^2-v^2}$$

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几何解释与应用

• 在二维情形下, 隐函数定理描述了曲线的切线方向；
• 在三维情形下, 描述了曲面的切平面与法向方向；
• 在方程组情形中, 隐函数定理刻画了参数变化引起的约束系统响应。
  例如, 在热力学、流体力学或经济学模型中,
  当某些变量间存在内在约束时, 其局部变化关系都可由隐函数定理求得。

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小结

隐函数定理给出了“由约束关系决定的函数”的局部存在性与可导性条件。
它将“隐含关系”转化为“偏导比例”, 使得复杂系统中的依赖变量仍可通过局部分析求得导数。
本定理是偏导数与雅可比行列式在高维空间的综合应用,
是多元微积分向微分几何与非线性系统分析过渡的关键桥梁。