雅可比行列式

简介

雅可比行列式是雅可比矩阵为方阵($m=n$)时的行列式。

定义

雅可比行列式

当一个向量函数 $\mathbf{f}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ (即输入和输出维度相同) 时, 其雅可比矩阵 $J$ 是一个 $n\times n$ 的方阵。

这个方阵的行列式 $\det (J)$ 就被称为雅可比行列式 (Jacobian Determinant)。

$$\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right|$$

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应用

雅可比行列式的值（是否为零）和绝对值具有重要意义：

1. 非奇异性判断 (值 $\ne 0$)

雅可比行列式不为零是函数局部行为良好的关键指标。

• 反函数定理：$J\ne 0$ 是函数在某点附近存在可微反函数的充分条件。
• 隐函数定理：相关变量的雅可比行列式 $J_y\ne 0$ 是方程组能解出隐函数的充分条件。

2. 体积缩放因子 (绝对值 $|J|$)

在多重积分换元中, 雅可比行列式的绝对值 $|J|$ 充当了坐标变换时“体积微元” $dV$ 的缩放因子。

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\ast }}f(g(u,v),h(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$