常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式
$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$
由二阶线性微分方程解的结构 > 定理3可知, 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解, 归结为求对应齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解

对应齐次方程的通解在常系数齐次线性微分方程得到解决, 所以这里只讨论求特解的方法.

待定系数法

这里讨论$f(x)$的两种形式

指数解

$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$
由于多项式与指数函数乘积的导数仍是多项式, 可以推测$y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x}$为一个特解,

(推导略)

特解形式为:
$y^{\ast }=x^k{R}_m(x)e^{\lambda x}$
其中$R_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式,
$R_m(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m{x}^0$
$k\in \{0,1,2\}$根据特征方程根的数量决定,

• 若$\lambda$不是特征方程的根, $k=0$
• 若$\lambda$是特征方程的单根, $k=1$
• 若$\lambda$是特征方程的重根, $k=2$

将特解带回方程, 解得系数 $b_0$, $b_1$, … $b_m$

Example

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^{2x}$

1. 对应的齐次方程：$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$
   求解特征方程：$r^2-3r+2=0$, 得$r=1,2$
   齐次方程的通解：$y_h=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$
2. 由于非齐次项$f(x)=e^{2x}$，且$\lambda =2$是特征方程的单根，所以设$k=1$。

$y_p=x{b}_0{e}^{2x}$

3. 代入原方程：

$(4b_0{e}^{2x}+4b_{0}x{e}^{2x})-3(b_0{e}^{2x}+2b_{0}x{e}^{2x})+2x{b}_0{e}^{2x}=e^{2x}$

整理并合并同类项：$b_0{e}^{2x}=e^{2x}$ , 解得$b_0=1$。
4. 构造非齐次的通解：

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+x{e}^{2x}$

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圆函数解

$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos (\omega x)+Q_n(x)\sin (\omega x)]$

应用欧拉公式变为复指数求解, 推导略

特解形式为:
$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos (\omega x)+R_m^{(2)}(x)\sin (\omega x)]$
$R_m^{(1)}(x)$, $R_m^{(2)}(x)$ 是m次多项式,

$m=max(l,n)$,

$k$是特征方程中 $\lambda +\omega i$或$\lambda -\omega i$ 这两个根的重复次数(二阶只能取到$\{0,1\}$)

Example

考虑方程：

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=\cos (\omega x)$

这是含圆函数的简单形式，其中$P_l(x)$和$Q_n(x)$均为0次多项式。

1. 应用欧拉公式：
   使用欧拉公式将$\cos (\omega x)$表达为复指数的实部：

$\cos (\omega x)=\frac{e^{i\omega x}+e^{-i\omega x}}{2}$

2. 假设特解形式：
   假设特解的形式为：

$y^{\ast }=x^k[A\cos (\omega x)+B\sin (\omega x)]$

其中，$k$是特征方程中$i\omega$或$-i\omega$这两个根的重复次数。

3. 代入原方程求解：
   将假设的特解形式代入原方程，并求解未知系数$A$和$B$。

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推广

• n阶常系数非齐次线性微分方程
• 复系数非齐次线性微分方程
• 非齐次线性偏微分方程

n阶常系数非齐次线性微分方程

上述方法可以完全推广至n阶

复系数非齐次线性微分方程

待定系数法可以推广至复系数。推广时，复数形式的特解会包含实部和虚部。因此，方法的本质不会改变，只是处理的系数和解的形式需要考虑复数的实部和虚部。

考虑一个带有复系数的非齐次线性微分方程：
$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$

情况1：$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$

特解的形式为：
$y^{\ast }=x^k{R}_m(x)e^{\lambda x}$
如果$\lambda$为复数，例如$\lambda =\alpha +i\beta$，那么特解形式依旧成立，只是需要考虑$\lambda$的复数部分。因此，
$y^{\ast }=x^k{R}_m(x)e^{(\alpha +i\beta )x}=x^k{R}_m(x)e^{\alpha x}(\cos (\beta x)+i\sin (\beta x))$

情况2：$f(x)=e^{\lambda x}\left[P_l(x)\cos (\omega x)+Q_n(x)\sin (\omega x)\right]$

特解的形式为：
$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos (\omega x)+R_m^{(2)}(x)\sin (\omega x)\right]$
同理，若$\lambda =\alpha +i\beta$，特解可以写为：
$y^{\ast }=x^k{e}^{(\alpha +i\beta )x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos (\omega x)+R_m^{(2)}(x)\sin (\omega x)\right]$
$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}(\cos (\beta x)+i\sin (\beta x))\left[R_m^{(1)}(x)\cos (\omega x)+R_m^{(2)}(x)\sin (\omega x)\right]$

总结

待定系数法对于复系数的推广，特解形式仍然保持一致，只是需要在计算时处理复数的实部和虚部。具体步骤包括：

1. 确定特解形式，保持与实数系数情况一致。
2. 计算特解时，处理复数指数函数时的实部和虚部。
3. 最终解通常会包含实部和虚部的组合。

通过这种方法，待定系数法可以顺利推广到复系数的情形。

非齐次线性偏微分方程

对于非齐次线性偏微分方程，待定系数法的推广会更复杂，但基本思想仍然适用。具体来说，我们需要处理多变量的情况，并且要考虑偏微分算子的特性。

假设我们有一个非齐次线性偏微分方程：

$$L[u]=f(x,y)$$

其中$L$是一个线性偏微分算子，$u=u(x,y)$是未知函数，$f(x,y)$是已知的非齐次项。

情况1：$f(x,y)=e^{\lambda x+\mu y}{P}_m(x,y)$

对于这样的非齐次项，我们假设特解的形式为：

$$u^{\ast }=x^k{y}^l{R}_m(x,y)e^{\lambda x+\mu y}$$

其中，$R_m(x,y)$是$x$和$y$的多项式，$k$和$l$是确定特解的常数。

情况2：$f(x,y)=e^{\lambda x+\mu y}\left[P_l(x,y)\cos (\omega x+\nu y)+Q_n(x,y)\sin (\omega x+\nu y)\right]$

对于这样的非齐次项，我们假设特解的形式为：

$$u^{\ast }=x^k{y}^l{e}^{\lambda x+\mu y}\left[R_l^{(1)}(x,y)\cos (\omega x+\nu y)+R_l^{(2)}(x,y)\sin (\omega x+\nu y)\right]$$

具体步骤

1. 假设特解的形式：根据非齐次项$f(x,y)$的形式，假设特解$u^{\ast }$的形式。形式中包含指数函数、多项式和三角函数的组合。

2. 代入方程：将假设的特解代入原偏微分方程$L[u]=f(x,y)$。

3. 确定待定系数：通过比较方程两边的系数，确定假设特解中的未知常数$k$, $l$和多项式$R_m(x,y)$或$R_l^{(1)}(x,y)$、$R_l^{(2)}(x,y)$的系数。

示例

考虑以下偏微分方程：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=e^{\lambda x+\mu y}$$

我们假设特解的形式为：

$$u^{\ast }=e^{\lambda x+\mu y}$$

代入偏微分方程：

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(e^{\lambda x+\mu y}\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\left(e^{\lambda x+\mu y}\right)={\lambda }^2{e}^{\lambda x+\mu y}+{\mu }^2{e}^{\lambda x+\mu y}$$

显然，${\lambda }^2+{\mu }^2=1$。

对于更复杂的非齐次项，比如$e^{\lambda x+\mu y}\left[P_l(x,y)\cos (\omega x+\nu y)+Q_n(x,y)\sin (\omega x+\nu y)\right]$，特解的假设形式和处理方法类似于常系数非齐次线性微分方程，只是要处理多变量和偏微分运算。

总结

待定系数法推广到非齐次线性偏微分方程时，需要考虑多变量的情况和偏微分算子的特性。基本步骤与常微分方程类似，但在处理具体解时会更复杂，需要考虑多项式和指数函数的组合及其在多变量下的表现形式。

实际情况中非齐次项$f(x,y)$不会太复杂, 可以观察$f(x,y)$形式直接写

1. 观察是指数型还是圆函数型
2. 观察多项式能否分离变量, 若可以分离, 则直接设$y^{\ast }=g(x)h(y)$