常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$
如果 $P(x)$, $Q(x)$ 为常数, 则函数将变为
$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
从前一章的讨论中可以得出：

定理2

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求解

当 $r$ 是常数时，指数函数$y=e^{rx}$ 及其导数只相差一个常数因子。
由于指数函数 $y=e^{rx}$ 具有这一特征，因此我们可以试着选择一个合适的常数 r 来满足方程

求得$y^{\prime }=r{e}^{rx}$, $y^{\prime \prime }=r^2{e}^{rx}$
带入齐次方程, 得到特征方程:
$(r^2+pr+q)e^{rx}=0$
由于 $e^{rx}\ne 0$, $r^2+pr+q=0$
由此可见, 只要r满足这个代数方程, 这个指数函数就是微分方程的解.
这个代数方程称为微分方程的特征方程

根据二次方程求根公式分三种情况, 相应地, 微分方程的通解也有三种情况

1. $\Delta >0$

方程有两个不相等的实数根
$r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
通解:
$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
利用双曲正弦和双曲余弦函数的定义：
$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
可以重新表达解为：
$y(x)=C_1\sinh (x)+C_2\cosh (x)$

2. $\Delta =0$

方程有两个相等的实数根
$r_1=r_2=-\frac{p}{2}$
$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$

3. $\Delta <0$

方程有两个复数根, $r_1=\alpha +\beta i$, $r_2=\alpha -\beta i$
其中 $\alpha =-\frac{p}{2}$, $\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$
通解:
$y=(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))e^{\alpha x}$

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相关链接

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