麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在 $x_0=0$ 的特例。对于一个在 $x=0$ 处具有所有阶导数的函数 $f(x)$，其麦克劳林展开式为：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots$$

麦克劳林公式是泰勒公式在 $a=0$ 的简化形式, 提供了一个在 $x=0$ 附近的函数 $f(x)$ 的近似表达。

常见麦克劳林公式

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$ $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$ $$\sinh (x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$ $$\cosh (x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$ $$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$$

$f(x)=x^r={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

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