泰勒级数

简介

泰勒级数是一种特殊的幂级数, 泰勒级数将一个函数表示为无穷幂级数的形式, 其系数 $a_n$ 由函数 $f(x)$ 的导数 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ 确定. 如果一个函数在某点无限可导, 并且其泰勒公式的余项在该点附近收敛于零, 那么这个函数就可以由其泰勒级数完全表示.

定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的泰勒级数定义为:

公式-泰勒级数

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无穷可导且余项 $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$，则函数可展开为泰勒级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$Link to original

这是由指定函数$f(x)$的导数决定系数的特殊幂级数.

与泰勒公式的关系

• 泰勒公式 是一个包含有限项和余项的等式, 重点是指定精度下的计算值
• 泰勒级数是泰勒公式在 $n\to \infty$ 且 $R_n(x)\to 0$ 时的极限形式, 重点在函数表示

性质

收敛性

一个函数能否被其泰勒级数表示, 关键在于其泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 是否随着 $n\to \infty$ 而趋于 $0$. 如果趋于 $0$, 则级数收敛于函数本身.

常用展开式

• 麦克劳林公式
• $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$
• $\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$