无穷

本文分为三部分

• 无穷小
• 无穷大
• 主部

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无穷小

简介

无穷小是极限理论的核心概念，在微积分、渐近分析中用于描述趋近于零的变化量。

定义

形式化定义

在自变量的某个变化过程（如 $x\to x_0$ 或 $x\to \infty$）中：

• 若 $\lim \alpha (x)=0$，则称 $\alpha (x)$ 为该过程中的无穷小量
• 特别地，零函数是永恒的无穷小

示例：

• $x$ 当 $x\to 0$ 时
• $\sin x$ 当 $x\to 0$ 时
• $e^{-x}$ 当 $x\to +\infty$ 时

基本定理

函数极限的分解定理

函数 $f(x)$ 在变化过程中有极限 $A$ $⟺$ $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)$ 是同一过程中的无穷小

证明：
($\Rightarrow$) 由极限定义，$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ 使得 $|f(x)-A|<\epsilon$，令 $\alpha (x)=f(x)-A$ 即得
($\Leftarrow$) 显然 $|f(x)-A|=|\alpha (x)|\to 0$

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无穷大

简介

描述函数在局部或全局范围内无界增长的趋势，与无穷小构成对偶关系。

定义

形式化定义

在自变量的某个变化过程中：

• 若 $\forall M>0,\exists \delta >0$ 使得 $0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|>M$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷大量
• 记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$

示例：

• $\frac{1}{x}$ 当 $x\to 0$ 时
• $\ln x$ 当 $x\to 0^{+}$ 时
• $e^x$ 当 $x\to +\infty$ 时

对偶定理

倒数关系

在自变量的同一变化过程中：

$\lim f(x)=\infty ⟺\lim \frac{1}{f(x)}=0$

即无穷大与无穷小互为倒数关系

应用：

• 处理 $\infty \cdot 0$ 型未定式时可转化为 $\frac{0}{1/\infty }$

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主部

简介

主部刻画无穷小/无穷大的主要贡献成分

定义

主部定义

设 $\alpha ,\beta$ 是同一过程中的无穷小：

• 若 $\beta =k\alpha +o(\alpha )$，其中 $k\ne 0$ 为常数
• 则称 $k\alpha$ 是 $\beta$ 的主部，$\alpha$ 称为基准无穷小

示例：

• 当 $x\to 0$ 时，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，主部为 $x$
• 当 $x\to +\infty$ 时，$x^2+3x\sim x^2$，主部为 $x^2$

比较原理

通过无穷小的比较确定主部：

1. 高阶无穷小：$\beta =o(\alpha )$
2. 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta }{\alpha }=k\ne 0$
3. 等价无穷小：$\beta \sim \alpha$（即 $k=1$）

主部提取步骤

1. 确定基准无穷小 $\alpha$
2. 展开 $\beta$ 为 $\alpha$ 的多项式
3. 保留最低阶非零项作为主部

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DeepSeek-R1

修改建议

1. 简化”简介”部分，使其更精炼
2. 统一”示例”格式为列表形式
3. 简化”主部提取步骤”描述