本章分为三部分：

• 数列的极限
• 函数的极限
• 极限运算的本质

数列的极限

简介

数列极限是分析学的基础概念，通过ε-N语言严格定义收敛性，为后续研究级数收敛、函数连续性奠定基础。

定义

ε-N定义

设数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $a$ 满足：

$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\text{当}n>N\text{时}|x_n-a|<\epsilon$

则称数列收敛于 $a$，记作 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$；否则称数列发散。

几何解释：在 $a$ 的任意ε邻域外只有有限项

性质

1. 唯一性定理

若数列收敛，则其极限唯一

2. 有界性定理

收敛数列必有界（但反之不成立，如 $\{(-1{)}^n\}$）

3. 保号性

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a>0$，则 $\exists N,\forall n>N,x_n>\frac{a}{2}$

4. 子列收敛性

收敛数列的任意子列也收敛于同一极限

经典示例

证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$：
取 $N=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$，当 $n>N$ 时：

$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$

函数的极限

简介

描述函数在局部邻域或无穷远处的趋势特性，是建立导数和积分的核心工具。

定义

1. 自变量趋于有限值

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域$U^{\circ }(x_0,\delta )$ 有定义：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$

2. 自变量趋于无穷

设 $f(x)$ 在 $|x|>M$ 时有定义：
$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists X>0,|x|>X\Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$

3. 邻域定义

• δ邻域：$U(x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$
• 去心邻域：$U^{\circ }(x_0,\delta )=U(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$

函数极限性质

若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$ 存在，则：

1. 唯一性：极限值唯一
2. 局部有界性：存在邻域 $U^{\circ }(a,\delta )$ 使 $f(x)$ 有界
3. 局部保号性：
   • 若 $A>0$，则 $\exists \delta >0,x\in U^{\circ }(a,\delta )\Rightarrow f(x)>\frac{A}{2}$
   • 若 $A<0$，则 $\exists \delta >0,x\in U^{\circ }(a,\delta )\Rightarrow f(x)<\frac{A}{2}$
4. Heine定理：对任意数列 $x_n\to a$ 且 $x_n\ne a$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$

计算示例

证明 $\underset{x\to 2}{\lim }(3x+1)=7$：
给定 $\epsilon >0$，取 $\delta =\frac{\epsilon }{3}$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时：

$|(3x+1)-7|=3|x-2|<3\delta =\epsilon$

极限运算的本质

极限运算是一个线性泛函：${\lim }_{x\to a}f(x)=A$