极限运算法则

简介

极限运算属于线性泛函，所以极限的运算满足可加性和齐次性，因此可以推导出无穷小之间的运算关系。

线性泛函

在这之前提到过：

Transclude of 极限#极限运算的本质

因此，极限运算的性质应该从泛函的角度来分析。

极限运算的线性性

极限运算满足以下两条性质：

1. 可加性： $$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)$$
2. 齐次： $$\underset{x\to a}{\lim }[c\cdot f(x)]=c\cdot \underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

这两条性质合起来称为线性性，即极限运算是一个线性泛函。

极限运算的数学表述

极限的线性性

设 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$，${\lim }_{x\to a}g(x)=B$，且 $c$ 为常数，则：

1. 可加性：

$$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)]=A+B$$

2. 齐次性：

$$\underset{x\to a}{\lim }[c\cdot f(x)]=c\cdot A$$

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线性运算

设$\lim f(x)=A$, $\lim g(x)=B$存在，则：

1. 线性组合
   $\lim [\alpha f+\beta g]=\alpha A+\beta B(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})$

2. 乘法法则
   $\lim [f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$

3. 除法法则（当$B\ne 0$时）
   $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$

计算示例

${\lim }_{x\to 2}(3x^2-5)=3(\lim x{)}^2-5=3\cdot 4-5=7$

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非线性运算

幂指函数

当$A>0$时：
$\lim [f(x){]}^{g(x)}=A^B$

根式运算

$\lim \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$

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复合运算

复合函数极限

若$f$在$u=A$连续：
$\lim f(g(x))=f(\lim g(x))$

不连续情形处理

当$f$在$u=A$不连续时，需用变量代换法：
令$u=g(x)$，转化为${\lim }_{u\to A}f(u)$

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无穷小运算

设$\alpha (x),\beta (x)$为同一过程的无穷小：

运算类型	结果性质	示例
$\alpha \pm \beta$	保持无穷小	$x^2\pm x^3$当$x\to 0$
$\alpha \cdot \text{有界量}$	无穷小	$x\cdot \sin (1/x)$当$x\to 0$
$\alpha =o(\beta )$	$\alpha +\beta \sim \beta$	$x^3+x\sim x$当$x\to 0$

典型等价关系

当$x\to 0$时：

$\sin x\sim x,\tan x\sim x,e^x-1\sim x$

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注意事项

1. 存在性前提

所有法则仅在各分量极限存在时适用：
$\nexists {\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (1/x)}{1/x}(\text{振荡无极限})$

2. 极限交换条件

累次极限不可随意交换：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x^2+y^2}=1\ne \underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x^2+y^2}=0$$

3. 零分母处理

当$\lim g(x)=0$时：

• 若$\lim f(x)\ne 0$，$\lim f/g$为无穷大
• 若$\lim f(x)=0$，需用洛必达法则或泰勒展开