极限存在准则

以下是判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子

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准则1:夹逼准则

若 $x\in \mathring{U}(x_0,r)$或$|x|>M$时, $g(x)\le f(x)\le h(x)$
且 $\underset{x\to x_0/\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0/\infty }{\lim }h(x)=A$
则$\underset{x\to x_0/\infty }{\lim }f(x)=A$ , 极限存在

根据准则1, 可推导出第一个重要极限
${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$

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准则2:单调有界准则

单调有界函数/数列必有极限

根据准则2, 可推导出第二个重要极限:
${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

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柯西极限存在准则

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是:
对于任意给定的正数 $ϵ$ ,存在正整数N, 使得当 $m>N,n>N$ 时, 有
$|x_n-x_m|<ϵ$