无穷小的比较

定义

无穷小比较定义

设 $\alpha ,\beta$ 为同一过程中的无穷小：

• $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$ ⇒ $\beta =o(\alpha )$（高阶无穷小）
• $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$ ⇒ $\beta =O(\alpha )$（低阶无穷小）
• $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$ ⇒ $\beta$ 与 $\alpha$ 同阶
• $\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c,(c\ne 0,k>0)$ ⇒ $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
• $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$ ⇒ $\beta \sim \alpha$（等价无穷小）

无穷小的比较定理

比较定理

1. $\beta \sim \alpha ⟺\beta =\alpha +o(\alpha )$
2. 若 $\alpha \sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$ 且 $\lim \frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$

推论

无穷小替换基于泰勒展开的有效性，高阶无穷小不影响多项式近似

当 $x\to 0$ 时

• $\sin x\sim x$
• $\tan x\sim x$
• $\arcsin x\sim x$
• $\arctan x\sim x$
• $e^x-1\sim x$
• $\ln (1+x)\sim x$
• $(1+x{)}^n-1\sim nx$
• $\sqrt[n]{(1+x)}-1\sim \frac{x}{n}$
• $(1-x{)}^n-1\sim -nx$
• $\sinh x\sim x$
• $\tanh x\sim x$

当 $x\to \infty$ 时

• $\cosh x\sim e^x$

多项式处理

对 $n$ 的多项式，上下同除 $n$ 变为 $\frac{1}{n}+$ 常数多项式

替换原则

与其他无穷小替换时需考虑是否影响次阶，详见泰勒公式

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DeepSeek-R1

修改建议

1. 修正等价无穷小定义错误
2. 统一无穷小列表格式
3. 移除冗余表格
4. 添加callout格式
5. 简化”推论”部分描述