映射与函数

定义

形式化定义

给定非空集合$A,B$，称对应法则$f$为从$A$到$B$的映射，记作$f:A\to B$，当且仅当：

1. 全域性：$\forall a\in A,\exists b\in B$ 使得$f(a)=b$
2. 唯一性：若$a_1=a_2$，则$f(a_1)=f(a_2)$

术语解释：

• 定义域（Domain）：集合$A$
• 陪域（Codomain）：集合$B$
• 像（Image）：元素$b=f(a)$称为$a$的像
• 原像（Preimage）：满足$f(a)=b$的$a$称为$b$的原像
• 值域（Range）：实际像的集合$\{f(a)|a\in A\}\subseteq B$

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定义

形式化定义

设非空数集 $D\subseteq \mathbb{R}$，若存在对应法则 $f$ 使得：
$\forall x\in D,\exists !y\in \mathbb{R}\text{满足}y=f(x)$
则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作：
$f:D\to \mathbb{R},x\mapsto y$

三要素：

1. 定义域（Domain）：自变量 $x$ 的取值范围 $D$
2. 对应法则（Mapping Rule）：确定 $y$ 值的计算规则 $f$
3. 值域（Range）：$R_f=\{f(x)\mid x\in D\}$

与关系区别

函数要求唯一性：每个 $x$ 对应唯一 $y$
而关系允许一对多，如圆方程 $x^2+y^2=R^2$ 是关系但不是函数

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