有界性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，$f(x)$ 在集合 $D$ 上有定义。
如果存在数 $K1$ ，使得 $f(x)\le K_1$ 对任意 $x\in D$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有上界。
反之，如果存在数字 $K_2$ ，使得 $f(x)\ge K_2$ 对任意 $x\in D$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有下界，而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 $D$ 上的一个下界。
如果存在正数 $M$ ，使得 $|f(x)|\le M$ 对任意 $x\in D$ 都成立，则称函数在 $D$ 上有界。如果这样的 $M$ 不存在，就称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上无界；等价于，无论对于任何正数 $M$ ，总存在 $x_1\in X$ ，使得 $|f(x_1)|>M$ ，那么函数 $f(x)$在 $X$ 上无界。
此外，函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界的充（分必）要条件是它在 $X$ 上既有上界也有下界。