沃利斯乘积

定义

沃利斯积 (Wallis Product)

该公式给出了圆周率 $\pi$ 的一种无穷乘积表示形式：

$$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\infty }\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots$$

也可以写作：

$$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\infty }\frac{4n^2}{4n^2-1}$$

推导

从沃利斯积分推导沃利斯积, 此推导利用了积分的单调性和夹逼定理。

1. 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，有 $0<\sin x<1$。因此，对于任意正整数 $n$，成立不等式：${\sin }^{2n+1}x<{\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x$
2. 对上式三边同时在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上积分，得到：$I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}$
3. 三边同时除以 $I_{2n+1}$：$1<\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}<\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}$
4. 利用递推关系 $I_{2n-1}=\frac{2n}{2n-1}{I}_{2n+1}$，代入上式右侧：$\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$
5. 于是，不等式变为：
   $1<\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}<\frac{2n+1}{2n}$
6. 当 $n\to \infty$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n+1}{2n}=1$。根据夹逼定理，可知：
   ${\lim }_{n\to \infty }\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=1$
7. 最后，将 $I_{2n}$ 和 $I_{2n+1}$ 的双阶乘表达式代入：
   $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\frac{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi }{2}}{\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}=\frac{(2n-1)!!(2n+1)!!}{((2n)!!{)}^2}\frac{\pi }{2}=\frac{((2n-1)!!(2n+1))((2n-1)!!)}{((2n)!!{)}^2}\frac{\pi }{2}$
   整理后即为无穷乘积的形式。当 $n\to \infty$ 时，其极限为 1，反解出 $\frac{\pi }{2}$ 即可得到沃利斯积。