几何级数

定义

几何级数是无穷多个项的总和，这些连续项之间的公比$r$是恒定的.

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=a+ar+a{r}^2+\cdots$$

其中：

• $a$ 是首项，
• $r$ 是公比（common ratio）

性质

1. 收敛条件：当 $|r|<1$ 时，几何级数收敛；否则发散。
2. 求和公式：收敛时，几何级数的和为 $S=\frac{a}{1-r}$。
3. 无穷项：当 $n\to \infty$ 时，几何级数的部分和趋近于 $S$。

收敛公式

当 $|r|<1$ 时，几何级数的和可以直接表示为：

$$S=\frac{a}{1-r}.$$

与等比数列的关系

等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比值相等，其通项公式为：

$$a_n=a\cdot r^{n-1}$$

几何级数是等比数列的无穷求和形式。等比数列的前 $n$ 项和公式为：

$$S_n=a\cdot \frac{1-r^n}{1-r}(r\ne 1)$$

当 $|r|<1$ 且 $n\to \infty$ 时，$r^n\to 0$，因此无穷几何级数的和为：

$$S=\frac{a}{1-r}$$

与泰勒公式的关系

泰勒公式将函数展开为无穷级数。几何级数可以看作是泰勒公式在特定函数下的表现形式。例如，函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为：

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots (|x|<1)$$

这与几何级数的形式完全一致，其中 $a=1$，$r=x$。因此，几何级数是泰勒公式在函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 下的特例。

推论

1. 有限项几何级数：前 $n$ 项的和为： $$S_n=a\cdot \frac{1-r^n}{1-r}(r\ne 1)$$
2. 无穷几何级数：当 $|r|<1$ 时，无穷几何级数的和为： $$S=\frac{a}{1-r}$$

推导

设级数的和为 $S$：

$$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots$$

将两边乘以 $r$：

$$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots$$

两式相减：

$$S-rS=a⟹S(1-r)=a.$$

解得：

$$S=\frac{a}{1-r}.$$

级数展开

几何级数常用来展开一些分式。常见的形式如下：

1. 基本形式

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1.$$

2. 积分形式
   对几何级数公式积分，可以得到：

$$\int \frac{1}{1-x}dx=-\ln |1-x|+C.$$

3. 导数形式
   对几何级数公式 $\frac{1}{1-x}$ 求导，可以得到：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

由此可得：

$$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}.$$

示例

示例 1：计算几何级数的和

计算级数 $2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$ 的和。

解：

• 首项 $a=2$，
• 公比 $r=\frac{1}{2}$。
• 由于 $|r|<1$，级数收敛，其和为： $$S=\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=4$$

示例 2：判断级数是否收敛

判断级数 $3+6+12+24+\cdots$ 是否收敛。

解：

• 公比 $r=2$，
• 由于 $|r|>1$，级数发散。

示例 3

几何级数示例

应用

几何级数常用于：

• 幂函数的泰勒展开
• 求解差分方程
• 计算等比数列和
• 近似值计算