广义二项式定理

简介

广义二项式定理是普通二项式定理的推广，可视作几何级数在任意实指数下的形式化延伸。适用于幂指数为任意实数或复数的情况。在数学分析和无穷级数领域中，这是一个重要的工具，尤其在处理类似 $(1-u{)}^{-k}$ 这种高次幂分母时。

定义

公式的形式为：

$$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^{\alpha -n}{y}^n,|y/x|<1,$$

其中：

• $\alpha$ 是任意实数或复数；
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)$ 是广义二项式系数，定义为：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -n+1)}{n!},$$

适用于 $n\ge 1$，而 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0}\right)=1$。

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对比

二项式定理

$(x+y{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$
其中$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 为二项式系数

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这是经典的二项式定理，且系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)$ 的定义与普通组合数一致。

当 $\alpha$ 是非整数时，展开变为无穷级数。这时公式依赖广义二项式系数的定义，将其扩展到任意实数或复数。

特殊形式

对于 $(1+x{)}^{\alpha }$，当 $|x|<1$ 时，可以直接展开为：

$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,$$

其中广义二项式系数为：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.$$

这是复分析和级数展开中更常用的形式

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示例

$(1-\frac{z}{2}{)}^{-2}$

1. 识别形式
   这里 $(1-\frac{z}{2}{)}^{-2}$ 是 $(1+x{)}^{\alpha }$ 的特殊情况，取 $\alpha =-2$，$x=-\frac{z}{2}$。
2. 使用广义二项式公式
   展开为：

$$(1-\frac{z}{2}{)}^{-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{n}){\left(-\frac{z}{2}\right)}^n.$$

3. 计算系数
   利用 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{n}\right)=\frac{(-2)(-2-1)(-2-2)\cdots (-2-n+1)}{n!}=\frac{(-1{)}^n(n+1)}{n!}$，代入后得：

$$\frac{1}{(1-\frac{z}{2}{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1){\left(\frac{z}{2}\right)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n+1}{2^n}{z}^n.$$

$\alpha =-1/2$

这是一个非常重要的例子，它将此定理与双阶乘联系起来。
令 $\alpha =-1/2$，我们展开 $(1+x{)}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$：

$$(1+x{)}^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n})x^n$$

我们来计算这个广义二项式系数：

$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)& =\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots (-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}\\ & =\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots (-\frac{2n-1}{2})}{n!}\\ & =\frac{(-1{)}^n\cdot (1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}{2^n\cdot n!}\\ & =\frac{(-1{)}^n(2n-1)!!}{2^{n}n!}\end{array}$$

因此，

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(2n-1)!!}{2^{n}n!}{x}^n$$

这个结果是推导 泰勒展开中的双阶乘 (例如 $\arcsin (x)$) 的基础。