泰勒展开中的双阶乘

在广义二项式定理中，当指数 $\alpha$ 为分数（特别是 $\pm 1/2$）时，其泰勒展开式的系数会系统性地产生双阶乘。

公式

$$f(n)=\frac{(2n-1)!!}{n!}$$

这个公式的化简依赖双阶乘的性质：

$$\frac{(2n-1)!!}{n!}=\frac{(2n)!/(2^{n}n!)}{n!}=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}=\frac{1}{2^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$

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示例

$arcsin(x)$ 的泰勒展开:
$\arcsin (x)$ 的导数是 $\frac{d}{dx}\arcsin (x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$。

我们对 $f(u)=(1+u{)}^{-1/2}$ （令 $u=-x^2$）使用广义二项式定理：

• $\alpha =-1/2$
• $x=u$

其展开式的通项系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)$ 为：

$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)& =\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots (-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}\\ & =\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots (-\frac{2n-1}{2})}{n!}\\ & =\frac{(-1{)}^n\cdot (1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}{2^n\cdot n!}\\ & =\frac{(-1{)}^n(2n-1)!!}{2^{n}n!}\end{array}$$

将 $u=-x^2$ 代回：

$$(1-x^2{)}^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(2n-1)!!}{2^{n}n!}(-x^2{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n-1)!!}{2^{n}n!}{x}^{2n}$$

对两边积分，即可得到 $\arcsin (x)$ 的展开式，其系数就包含了 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$ 这一项。

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