混合积

混合积

混合积是指三个向量 $a$、$b$ 和 $c$ 的数量积。它通常用来计算三个向量所定义的平行六面体的体积。混合积的定义如下：

$$(a\times b)\cdot c$$

其中，$a\times b$ 表示 $a$ 和 $b$ 的叉积（向量积），结果是一个向量；然后这个向量再与向量 $c$ 做点积（数量积），结果是一个标量。
可以用行列式来表达混合积：

$$(a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

其中，$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，$c=(c_1,c_2,c_3)$。

几何解释

混合积的绝对值等于由向量 $a$、$b$ 和 $c$ 构成的平行六面体的体积

$$V=|(a\times b)\cdot c|$$

性质

1. 交换性：
   • $(a\times b)\cdot c=(b\times c)\cdot a=(c\times a)\cdot b$
2. 线性性：
   • 混合积对每个向量都是线性的，例如：
     $(ka\times b)\cdot c=k(a\times b)\cdot c$
     $(a\times (b+c))\cdot d=(a\times b)\cdot d+(a\times c)\cdot d$
3. 平行向量：
   • 如果 $a$、$b$ 和 $c$ 中有任意两个向量是平行的，那么混合积为零：
     $(a\times b)\cdot a=0\text{如果}a\parallel b$

示例

data:
  # 基向量边
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [0, 3]
    y: [0, 0]
    z: [0, 0]
    line: {width: 6, color: 'red'}   
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [0, 1]
    y: [0, 2]
    z: [0, 0]
    line: {width: 6, color: 'red'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [0, 1]
    y: [0, 0]
    z: [0, 2]
    line: {width: 6, color: 'red'}
  # 从a出发的边
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [3, 4]
    y: [0, 2]
    z: [0, 0]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [3, 4]
    y: [0, 0]
    z: [0, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  # 从b出发的边
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [1, 4]
    y: [2, 2]
    z: [0, 0]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [1, 2]
    y: [2, 2]
    z: [0, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  # 从c出发的边
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [1, 4]
    y: [0, 0]
    z: [2, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [1, 2]
    y: [0, 2]
    z: [2, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  # 其他边
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [2, 5]
    y: [2, 2]
    z: [2, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [4, 5]
    y: [2, 2]
    z: [0, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [4, 5]
    y: [0, 2]
    z: [2, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [5, 4]
    y: [2, 2]
    z: [2, 0]
    line: {width: 6, color: 'black'}
  - type: scatter3d
    mode: lines
    x: [5, 4]
    y: [2, 0]
    z: [2, 2]
    line: {width: 6, color: 'black'}
layout:
  scene:
    xaxis: {title: X, dtick: 1}
    yaxis: {title: Y, dtick: 1}
    zaxis: {title: Z, dtick: 1}
    aspectmode: cube