向量运算

内积

向量与向量的二元运算, 映射结果到实数
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\mid \vec{a}\mid \mid \vec{b}\mid \cos \theta$
其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角
内积可以使用矩阵乘法表示:
$[x,y]={\vec{x}}^T\vec{y}={\sum }_1^n{x}_n{y}_n$

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外积

n维线性空间中($n\ge 2$), 向量与向量的二元运算, 映射结果到线性空间，得到一个 $n(n-1)/2$ 维度的新向量($n=2$时得到的实际上是一个标量)
外积和内积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与内积之不同的是，外积还依赖于定向或右手定则

对于三维空间的外积运算：
$\vec{c}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$
$\vec{c}$ 的模长 $\mid \vec{c}\mid =\mid \overrightarrow{n_1}\mid \mid \overrightarrow{n_2}\mid \sin \theta$, 即$n_1$，$n_2$组成的平行四边形面积

右手螺旋定则

右手四指握紧，拇指伸直，形成由旋向和轴向两个特征完全确定的圆柱形

1. 旋向：圆柱正方向为，四指旋向为起点在圆柱轴线上的向量$n_1\to n_2$
2. 轴向：拇指伸直的方向为轴线正方向

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$\vec{c}$ 的方向根据右手定则确定:
四指旋向为$n_1\to n_2$时, 拇指的方向

外积的行列式表示

使用行列式计算三维向量外积：

$$\vec{c}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ {}_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$ Link to original

混合积

混合积是指三个向量 $a$、$b$ 和 $c$ 的数量积。它通常用来计算三个向量所定义的平行六面体的体积。混合积的定义如下：

$$(a\times b)\cdot c$$

其中，$a\times b$ 表示 $a$ 和 $b$ 的叉积（向量积），结果是一个向量；然后这个向量再与向量 $c$ 做点积（数量积），结果是一个标量。
可以用行列式来表达混合积：

$$(a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

其中，$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，$c=(c_1,c_2,c_3)$。

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