三重积分

三重积分用于计算在三维空间区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x,y,z)$，并且我们希望在区域$E$上对该函数进行积分。三重积分的表示形式如下：

$${\iiint }_{E}f(x,y,z)dV$$

其中$dV$是区域$E$上的一个微小体积元。计算三重积分的步骤如下：

1. 定义区域$E$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对哪个变量进行积分。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另两个变量不变。
4. 计算中间层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。
5. 计算外层积分：将中间层积分的结果对最后一个变量积分。

例如，对矩形体区域$[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$上的函数$f(x,y,z)$的三重积分可以写成：

$${\iiint }_{[a,b]\times [c,d]\times [e,f]}f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^b\left({\int }_c^d\left({\int }_e^{f}f(x,y,z)dz\right)dy\right)dx$$

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直角坐标

积分构成

$$V={\int }_0^{h(x,y)}{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\int }_a^{b}f(x,y,z)dxdydz$$

x先以定值从区间$[a,b]$平扫y区域积分,形成两个边界 $y={\varphi }_1(x)$ $y={\varphi }_2(x)$
根据边界相减得到底面$D$.
底面$D$实际上是形状被x,y决定的区域, 这个区域的形状仅取决于z.
底面$D$再沿$y$轴进行积分, 得到”体积” .
“体积” $V$ 再沿$z$轴进行积分, 得到

积分解耦

$$V={\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\int }_0^{h(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$$

1. 找到三维坐标中 z的边界曲面和边界函数 $z=z(x,y)={\int }_0^{h(x,y)}f(x,y,z)dz$
2. 找到二维坐标中 y的边界曲线 $y={\varphi }_1(x)$ $y={\varphi }_2(x)$
3. ${\int }_{{\varphi }_1}^{{\varphi }_2}z(x,y)dy$ 即为解耦后的$y(x)$
   $V={\iint }_{D}zd\sigma ={\int }_a^{b}dx\left({\int }_{{\varphi }_1}^{{\varphi }_2}z(x,y)dy\right)$

例子

假设有一个函数$f(x,y,z)=1$，积分区域为$x$从$a$到$b$，$y$的范围是$[y_1(x),y_2(x)]$，$z$的范围是$[0,h(x,y)]$，则体积积分表示为：

$$V={\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\int }_0^{h(x,y)}1dzdydx$$

计算顺序

1. 计算旋转切面的面积，直接利用圆的面积定义
2. 计算切面沿旋转轴的累积

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柱面坐标

适合计算旋转柱体
将$x$, $y$映射为$r$, $\theta$, 其中$r$是雅可比行列式的结果
$dxdy=rdrd\theta$
而$z$的形式不变,
$dv=dzrdrd\theta$

计算顺序

1. 计算旋转扇形面积, $dr$ $dz$
2. 计算扇形绕轴旋转，$d\theta$

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球面坐标

$$\{\begin{array}{ll}x& =r\sin (\varphi )\cos (\theta )\\ y& =r\sin (\varphi )\sin (\theta )\\ z& =r\cos (\varphi )\end{array}$$

$dv=r^2\sin (\varphi )drd\varphi d\theta$