二重积分

定义

二重积分用于计算在平面区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x,y)$，并且我们希望在区域$D$上对该函数进行积分。二重积分的表示形式如下：
${\iint }_{D}z(x,y)dA$
其中$dA$是区域$D$上的一个微小面积元。

二重积分可以表示曲面顶部柱体体积, 或者平面薄片质量

计算

1. 定义区域$D$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对$x$还是$y$进行积分。积分上下限为常数则最后积分。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另一个变量不变。
4. 计算外层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。

例如，对矩形区域$[a,b]\times [c,d]$上的函数$f(x,y)$的二重积分可以写成：

$${\iint }_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$$

直角坐标法

积分构成

1. $x$的边界为常数，在区间$[a,b]$内对$x$进行积分，得到$y$的边界${\varphi }_1(x)$和${\varphi }_2(x)$。
2. 这些边界定义了一个由$x$和$y$确定的二重积分区域$D$。
3. 将$D$对y积分，得到”体积”

积分解耦

1. 找到$z$的边界函数$z=z(x,y)$。
2. 找到$y$的边界函数$y={\varphi }_1(x)$和$y={\varphi }_2(x)$。
3. 对$y$积分：${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}z(x,y)dy$。这是一个关于x的函数，可以记作$f(x)$
4. 对$x$积分：${\int }_a^{b}f(x)dx$

极坐标法

1. 将平面上的点用极坐标表示：$(x,y)\to (r,\theta )$，其中$x=r\cos (\theta )$，$y=r\sin (\theta )$。
2. 转换后，积分区域也要相应转换。
3. 积分形式变为：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))rdrd\theta$$

换元

二重积分换元法

在换元法中，可以通过适当的变量替换，简化复杂的积分计算

1. 选择合适的新变量$(u,v)$，使得原积分区域和函数形式变得简单。
2. 计算雅可比行列式$J$，用于转换积分形式。
3. 将原积分转换为新变量下的积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(g(u,v))|J|dudv$$

性质

1. 常数的线性运算
2. 积分区域可加性

Link to original