向量的性质

内积

内积

向量与向量的二元运算, 映射结果到实数
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\mid \vec{a}\mid \mid \vec{b}\mid \cos \theta$
其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角
内积可以使用矩阵乘法表示:
$[x,y]={\vec{x}}^T\vec{y}={\sum }_1^n{x}_n{y}_n$

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长度

范数

向量的大小也称模长、长度(Magnitude)表示线性空间中从原点到该向量所指向的点的直线距离.
$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}$
在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数(Norm)

性质

• 非负性: 仅当$x\ne 0$时
• 齐次性
• 三角不等式:
  $\Vert \vec{x}+\vec{y}\Vert \le \Vert \vec{x}\Vert +\Vert \vec{x}\Vert$

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向量正交性

正交性

在线性空间中，正交指的是两个向量在内积意义下是垂直的。如果两个向量的点积为零，则这两个向量被认为是正交的。
$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$
这个概念可以扩展到函数空间，其中两个函数的内积（通常定义为函数乘积的积分）为零时，它们被认为是正交的。
${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$

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