特征向量

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对于一个给定的方阵 $A$，它的特征向量 $v$ 经过这个矩阵的线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 $v$ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。
$Av=\lambda v$
其中 $\lambda$ 为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 $\lambda$ 为其特征值（eigenvalue，也译固有值、本征值）。

• 如果特征值为正，则表示 $v$ 在经过线性变换的作用后方向也不变；
• 如果特征值为负，说明方向会反转；
• 如果特征值为0，则是表示缩回零点。
  但无论怎样，仍在同一条直线上。

计算

对于每一个特征值 ${\lambda }_i$，需要求解线性方程组 $(A-{\lambda }_{i}I)v=0$，即通过求解同质线性方程组来找到特征向量。

求解矩阵方程 $(A-{\lambda }_{i}I)v=0$ 的主要步骤是化简矩阵并解出方程组。

求解线性方程组

将增广矩阵化简为上三角矩阵, 回代求解线性方程组

1. 选取解向量矩阵 $B$ 构造增广矩阵。
2. 前向消元: 通过初等行变换, 将增广矩阵化为上三角矩阵.
3. 回代: 从上三角矩阵的最后一行开始, 逐步求解每个变量的值.

示例

Example

考虑以下线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=4\\ 2x+3y+2z=7\\ 3x+y+2z=6\end{array}$$

1. 构造增广矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 2& 3& 2& 7\\ 3& 1& 2& 6\end{array}\right]$$

2. 前向消元

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& -1& 0& -1\\ 3& 1& 2& 6\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& -1& 0& -1\\ 0& -5& -1& -6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& -5& -1& -6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]\end{array}$$

3. 回代求解

从第三行可以直接得到：

$$z=1$$

将 $z=1$ 代入第二行：

$$y+0\cdot z=1⟹y=1$$

将 $y=1$ 和 $z=1$ 代入第一行：

$$x+2(1)+1=4⟹x+2+1=4⟹x+3=4⟹x=1$$

所以解为：

$$x=1,y=1,z=1$$

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化简规则

初等行变换

• 行交换(Row Swap): 交换矩阵的两行.
• 行缩放(Row Multiplication): 将某一行乘以非零常数
• 行相加(Row Addition): 将某一行加上另一行的倍数

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变换后写回方程组形式