高斯消元法

主要用于

1. 求解逆矩阵
2. 求解线性方程组
3. 计算行最简形

这几种应用的本质都是通过初等行变换进行矩阵化简, 只是增广矩阵的构造和最终目标有所不同.

通用步骤:

1. 构造增广矩阵 $\left[A|B\right]$.
2. 进行初等行变换
   

   初等行变换

   • 行交换(Row Swap): 交换矩阵的两行.
   • 行缩放(Row Multiplication): 将某一行乘以非零常数
   • 行相加(Row Addition): 将某一行加上另一行的倍数

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求解逆矩阵

1. 选取单位矩阵 $E$ 构造增广矩阵。
2. 通过初等行变换将增广矩阵行变换计算逆矩阵。
3. 当 $A$ 部分变成单位矩阵时, 右侧部分即为$A^{-1}$.

$$\left(\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right)\stackrel{\text{mbox}row}{⟶}\left(\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right)$$

示例

Example

对于一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& 1& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& 0& 1& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

通过行变换将左侧的 $A$ 变成单位矩阵, 右侧将变为 $A^{-1}$.

特殊情况处理

特殊情况处理

在高斯消元过程中, 如果当前列的主元(pivot)值为 0, 但其他行已被正确形式化, 而不能继续行加减, 此时需要行交换

求解线性方程组

将增广矩阵化简为上三角矩阵, 回代求解线性方程组

1. 选取解向量矩阵 $B$ 构造增广矩阵。
2. 前向消元: 通过初等行变换, 将增广矩阵化为上三角矩阵.
3. 回代: 从上三角矩阵的最后一行开始, 逐步求解每个变量的值.

示例

Example

考虑以下线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=4\\ 2x+3y+2z=7\\ 3x+y+2z=6\end{array}$$

1. 构造增广矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 2& 3& 2& 7\\ 3& 1& 2& 6\end{array}\right]$$

2. 前向消元

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& -1& 0& -1\\ 3& 1& 2& 6\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& -1& 0& -1\\ 0& -5& -1& -6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& -5& -1& -6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]\end{array}$$

3. 回代求解

从第三行可以直接得到：

$$z=1$$

将 $z=1$ 代入第二行：

$$y+0\cdot z=1⟹y=1$$

将 $y=1$ 和 $z=1$ 代入第一行：

$$x+2(1)+1=4⟹x+2+1=4⟹x+3=4⟹x=1$$

所以解为：

$$x=1,y=1,z=1$$

计算行最简形

计算矩阵的秩和零化度时，通常使用初等行变换将矩阵化简为行最简形

示例

Example

设矩阵$A$为一个$3\times 4$矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& -1\\ 1& 1& 2& -2\\ 1& 2& 3& -3\end{array}\right]$$

1. 将矩阵化简为行最简形（RREF）：

$$\text{RREF}(A)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& -1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

2. 识别自由变量：
   在行最简形中，包括2个有效行和一个零行, 自由变量有1个，因此矩阵的零化度为1。