矩阵的秩

定义

矩阵 $A$ 的秩是它的行向量(或列向量)中最大线性无关集的向量个数。
$m\times n$ 的矩阵 $A$ 的秩记作 $rank(A)$。

性质

1. 矩阵的行秩=列秩
2. 零矩阵: 只有零矩阵的秩为0。
3. 满秩：$rank(A)=n(A)$
4. $rank(A)\le min(m,n)$。
5. 转置矩阵的秩: $rank(A)=rank(A^T)$
6. 对矩阵 $A$ 施行初等行变换,其秩不变。
7. 如果 $AB$ 可以计算,则 $rank(AB)\le min(rank(A),rank(B))$

计算

1. Gauss消元法: 将矩阵化为阶梯形,非零行的个数即为矩阵的秩。
   

   计算行最简形

   计算矩阵的秩和零化度时，通常使用初等行变换将矩阵化简为行最简形

   示例

   Example

   设矩阵$A$为一个$3\times 4$矩阵：

   $$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& -1\\ 1& 1& 2& -2\\ 1& 2& 3& -3\end{array}\right]$$

   1. 将矩阵化简为行最简形（RREF）：

   $$\text{RREF}(A)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& -1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

   2. 识别自由变量：
      在行最简形中，包括2个有效行和一个零行, 自由变量有1个，因此矩阵的零化度为1。

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2. 特征值: 矩阵的秩等于非零特征值的个数。

推论

设 $AB=O$,若 $A$ 为列满秩矩阵,则 $B=O$