零化度

零化度(Nullity)是矩阵零空间的维数, 即所有使得$Ax=0$的向量集合的维数.
零化度反映了线性方程组$Ax=0$的解空间的自由度.

计算方法

对于特征值$\lambda$, 零化度表示特征值$\lambda$的几何重数, 即与$\lambda$相关的线性无关特征向量的个数.
$\text{Nullity}(A-\lambda I)=\dim (\text{Null}(A-\lambda I))$

特殊情况

如果$A$是$n\times n$的方阵:
$\text{Nullity}(A)=n-\text{rank}(A)$
如果$A$是$m\times n$的矩阵:
$\text{Nullity}(A)=n-\text{rank}(A)$

示例

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 2& 0& 3\end{array}\right]$$

1. 求矩阵的秩( Rank)
   将矩阵$A$化简为行最简形:

$$RREF(A)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

矩阵的秩是非零行的数量, 这里为2.

2. 计算零化度( Nullity) :
   零化度=列数减去秩:

$$\text{Nullity}(A)=4-2=2$$