LUD

LUD

LU分解是矩阵分解的一种，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被视为高斯消元法的矩阵形式。

定义

对于方阵 $A$，$A$ 的 LU 分解是将它分解成一个下三角矩阵 $L$ 与上三角矩阵 $U$ 的乘积，也就是

$$A=LU$$

如果适当的改变 $A$ 的行的顺序或列的顺序，就可以将 $A$ 做 LU 分解。

示例

举例来说一个 $3\times 3$ 的矩阵 $A$ ，其 LU 分解会写成下面的形式：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{l}_{11}& 0& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ 0& u_{22}& u_{23}\\ 0& 0& u_{33}\end{array}\right]$$

事实上，并不是每个矩阵都有 LU 分解。例如，从上式可知 $a_{11}=l_{11}{u}_{11}$，若 $a_{11}=0$，则 $l_{11}$ 或 $u_{11}$ 等于 0，故 $L$ 或 $U$ 是非可逆矩阵，$A$ 必须也是非可逆矩阵。然而，存在着可逆矩阵 $A$ 满足 $a_{11}=0$，这些 $A$ 就是没有 LU 分解的例子。该问题可借由置换 $A$ 的各行顺序来解决，最终会得到一个 $A$ 的 PLU 分解。