矩阵乘法

矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积. 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。

定义

设 $A$ 是 $n\times m$ 的矩阵，$B$ 是 $m\times p$ 的矩阵，则它们的矩阵积 $AB$ 是 $n\times p$ 的矩阵。$A$ 中每一行的 $m$ 个元素都与 $B$ 中对应列的 $m$ 个元素对应相乘，这些乘积的和就是 $AB$ 中的一个元素。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots \\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{A}_1& A_2& \dots \end{array}\right]$$ $$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \\ b_{2,1}& b_{2,2}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ ⋮\end{array}\right]$$

其中
$A_1$ 是由所有 $a_{x,1}$ 元素所组成的向量 (column)，
$A_2$ 是由所有 $a_{x,2}$ 元素所组成的向量，以此类推。
$B_1$ 是由所有 $b_{1,x}$ 元素所组成的向量 (row)，
$B_2$ 是由所有 $b_{2,x}$ 元素所组成的向量，以此类推。
则

$$AB=\left[\begin{array}{c}{a}_{1,1}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \end{array}\right]+a_{1,2}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{2,1}& b_{2,2}& \dots \end{array}\right]+\cdots \\ a_{2,1}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \end{array}\right]+a_{2,2}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{2,1}& b_{2,2}& \dots \end{array}\right]+\cdots \\ ⋮\end{array}\right]=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots$$

性质

• 满足结合律
• 满足分配律
  矩阵乘法并不满足交换律.
  有了乘法, 便可以定义矩阵的幂

示例

Example

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\\ -1\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right]+3\cdot \left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]+1\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$$

推论(P122)

若
$A=PB{P}^{-1}$
则
$A^k=P{B}^k{P}^{-1}$
A的多项式
$\varphi (A)=P\varphi (B)P^{-1}$