旋转矩阵

旋转矩阵是正交矩阵的一种特殊形式，用于描述二维平面上的旋转变换。

二维空间

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 $\theta$ 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 $\theta$ 的矩阵是:

\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \exp \left( \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right)

特征值

二维旋转矩阵有一对共轭复特征值, 没有实特征值

$${\lambda }_1=e^{i\theta },{\lambda }_2=e^{-i\theta }$$

证明

$$\det (R(\theta )-\lambda I)=0$$ $$\det \left(\begin{array}{cc}\cos \theta -\lambda & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta -\lambda \end{array}\right)=0$$ $$(\cos \theta -\lambda {)}^2+{\sin }^2\theta =0$$ $${\cos }^2\theta -2\lambda \cos \theta +{\lambda }^2+{\sin }^2\theta =0$$ $${\lambda }^2-2\lambda \cos \theta +1=0$$

使用求根公式，得到：

$$\lambda =\cos \theta \pm i\sin \theta$$

因此，特征值为：

$${\lambda }_1=e^{i\theta },{\lambda }_2=e^{-i\theta }$$

这两个特征值都是复数，且它们是共轭复数。

三维空间

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转（欧拉旋转定理）。如果旋转角是 $\theta$，则旋转矩阵的另外两个（复数）特征值是 $\exp (i\theta )$ 和 $\exp (-i\theta )$。从而得出三维旋转的矩阵的迹数等于 $1+2\cos (\theta )$，这可用来快速地计算任何三维旋转的旋转角。
三维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定三维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个三维旋转矩阵。

旋转

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

绕 x-轴的主动旋转

$$R_x({\theta }_x)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\theta }_x& -\sin {\theta }_x\\ 0& \sin {\theta }_x& \cos {\theta }_x\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_x\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_x$ 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在 yz 平面顺时针）。

绕 y-轴的主动旋转

$$R_y({\theta }_y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_y& 0& \sin {\theta }_y\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\theta }_y& 0& \cos {\theta }_y\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_y\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_y$ 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在 zx 平面顺时针）。

绕 z-轴的主动旋转

$$R_z({\theta }_z)=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_z& -\sin {\theta }_z& 0\\ \sin {\theta }_z& \cos {\theta }_z& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_z\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_z$ 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在 xy 平面顺时针）。

性质

旋转矩阵是正交矩阵, 因此具有正交矩阵的所有性质

1. 逆矩阵：$Q^{-1}=Q^T$
2. 列向量正交：列向量彼此正交，且范数为1。
3. 行向量正交：行向量彼此正交，且范数为1。
4. 保距性：保留向量的长度和内积。

应用

旋转矩阵在计算机图形学、机器人动力学、物理学和信号处理等领域有广泛应用。