正交矩阵

正交矩阵是一个方阵，其列向量和行向量都是正交的，并且每个向量的范数为1。对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $Q$，如果满足以下条件：

$$Q^{T}Q=Q{Q}^T=I$$

其中 $Q^T$ 是 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵，那么 $Q$ 就是一个正交矩阵。

性质

1. 逆矩阵：正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 $Q^{-1}=Q^T$。
2. 列向量正交：正交矩阵的列向量彼此正交，即 $Q$ 的列向量满足 $q_i\cdot q_j=0$（当 $i\ne j$ 时），并且每个列向量的范数为1，即 $\Vert q_i\Vert =1$。
3. 行向量正交：正交矩阵的行向量彼此正交，即 $Q$ 的行向量满足 $q_i^T\cdot q_j^T=0$（当 $i\ne j$ 时），并且每个行向量的范数为1，即 $\Vert q_i^T\Vert =1$。
4. 保距性：正交矩阵保留向量的长度和内积，即对于任意向量 $x$ 和 $y$，有 $\Vert Qx\Vert =\Vert x\Vert$ 和 $(Qx)\cdot (Qy)=x\cdot y$。

示例

设 $Q$ 是一个 $2\times 2$ 的矩阵(这实际上是一个旋转矩阵)：

$$Q=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

可以验证 $Q$ 是一个正交矩阵：

$$Q^{T}Q=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$$

同样可以验证 $Q{Q}^T=I$。