反对称矩阵

定义

转置矩阵和自身的加法逆元相等的方阵$A=(a_{ij})$。满足：

$$A^T=-A$$

其中各元素的关系为：

$$a_{ij}=-a_{ji}$$

示例

例如，下例为一个斜对称矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -2& 0& -4\\ 1& 4& 0\end{array}\right]$$

性质

对称性

斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。

生成斜对称矩阵

任意矩阵 $A$， $A^T-A$ 是斜对称矩阵。

二次型

若 $A$ 是斜对称矩阵， $x$ 是向量，则有：

$$x^{T}Ax=0$$

主对角线元素

斜对称矩阵的主对角线元素必是零，所以矩阵的迹为零。

行列式

若 $A$ 是 $n\times n$ 的斜对称矩阵，其行列式满足：

$$\det (A)=\det (A^T)=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A)$$

• 若 $n$ 是奇数，行列式等于零（雅可比定理）。
• 若 $n$ 是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方：

$$\det (A)=\mathrm{Pf}(A{)}^2$$

这个多项式 $\mathrm{Pf}(A)$ 叫 $A$ 的普法夫行列式。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。

谱理论

特征根

斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式（±λ）出现，因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数，例如： $i{\lambda }_1,-i{\lambda }_1,i{\lambda }_2,-i{\lambda }_2,\dots$ ，其中 ${\lambda }_k$ 是实数。
实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个 $2n\times 2n$ 的实斜对称矩阵都可以写成：

$$A=Q\Sigma Q^T$$

其中 $Q$ 是正交矩阵，且：

$$\Sigma =\left[\begin{array}{ccccc}\begin{array}{cc}0& {\lambda }_1\\ -{\lambda }_1& 0\end{array}& 0& \cdots & 0& \\ 0& \begin{array}{cc}0& {\lambda }_2\\ -{\lambda }_2& 0\end{array}& & 0& \\ ⋮& & \ddots & ⋮& \\ 0& 0& \cdots & \begin{array}{cc}0& {\lambda }_r\\ -{\lambda }_r& 0\end{array}& \\ & & & & \begin{array}{ccc}0& & \\ & \ddots & \\ & & 0\end{array}\end{array}\right]$$

对于实数 ${\lambda }_k$。这个矩阵的非零特征值是 $\pm i{\lambda }_k$。在奇数维的情况中， $\Sigma$ 总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群 $O(n)$ 在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。
斜对称矩阵的空间形成了李群 $O(n)$ 的李代数 $o(n)$。这个空间上的李括号由交换子给出：

$$[A,B]=AB-BA$$

很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
因此，斜对称矩阵 $A$ 的矩阵指数，是正交矩阵 $R$：

$$R=\exp (A)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}$$

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群 $O(n)$ 的情况中，这个连通分支是特殊正交群 $SO(n)$，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此 $R=\exp (A)$ 的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

相关链接

• 斜埃尔米特矩阵
• 辛矩阵

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叉乘表示

反对称矩阵与向量叉乘的关系在于，任何三维向量的叉乘可以通过与一个反对称矩阵的乘积来表示。具体来说，设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是三维空间中的两个向量，则它们的叉乘$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$可以表示为：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=A\mathbf{b}$$

其中$A$是与向量$\mathbf{a}$对应的反对称矩阵，形式如下：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$$

在这里，$a_1,a_2,a_3$分别是向量$\mathbf{a}$的三个分量。这种表示使得叉乘可以用矩阵乘法来计算，便于在计算机编程和符号运算中使用。

这个结论源于向量叉乘的代数性质和线性代数中矩阵操作的便利性。我们可以通过分步推导来详细理解这个关系：

步骤 1: 定义向量叉乘

在三维空间中，两个向量 $\vec{a}=[a_1,a_2,a_3{]}^T$ 和 $\vec{b}=[b_1,b_2,b_3{]}^T$ 的叉乘 $\vec{a}\times \vec{b}$ 定义为：

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]$$

步骤 2: 表达叉乘为矩阵乘法

我们可以构建一个特定的矩阵 $A$，使得当这个矩阵与任意向量 $\vec{b}$ 相乘时，结果与向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉乘相同。这样的矩阵 $A$ 是：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$$

步骤 3: 验证矩阵 $A$ 的作用

我们将矩阵 $A$ 与向量 $\vec{b}$ 相乘：

$$A\vec{b}=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-a_3{b}_2+a_2{b}_3\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ -a_2{b}_1+a_1{b}_2\end{array}\right]$$

这正是 $\vec{a}\times \vec{b}$ 的定义，从而验证了 $A\vec{b}=\vec{a}\times \vec{b}$。

步骤 4: 矩阵 $A$ 的性质

可以注意到，矩阵 $A$ 是反对称的，即 $A^T=-A$。这是因为矩阵的对角元素都是零，而非对角元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}$ 的关系。

结论

从上述步骤我们看到，任何三维向量 $\vec{a}$ 都可以通过其对应的反对称矩阵 $A$ 与另一个向量 $\vec{b}$ 进行矩阵乘法来实现叉乘的效果。这种表示不仅揭示了向量运算与矩阵运算之间的联系，还为使用线性代数技术解决相关的物理和工程问题提供了一个强大的工具。