正交变换

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在线性代数中，正交变换是线性变换的一种。如果对于任意向量 $u$ 和 $v$ 其内积等于正交变换后之向量 $T(u)$ 和 $T(v)$ 之内积，则称之为正交变换。

$$⟨u,v⟩=⟨T(u),T(v)⟩$$

性质

1. 正交变换 $T$ 不会改变向量间的正交性，如果 $u$ 和 $v$ 正交，则 $T(u)$ 和 $T(v)$ 亦为正交。
2. 如果 $A$ 和 $B$ 皆为正交矩阵，则 $AB$ 亦为正交矩阵。
3. 如果 $A$ 为正交矩阵，$A$ 的反矩阵 $A^{-1}$ 亦为正交矩阵。
4. 对于正交变换 $T$，如果 $u$ 和 $v$ 可以做内积，$T(u)$ 和 $T(v)$ 做内积之值等于 $u$ 和 $v$ 做内积之值。