二次型的正交变换

问题

如何将二次型 $3x^2+2xy+3y^2$ 通过正交变换化为只含 $(x^{\prime }{)}^2$ 和 $(y^{\prime }{)}^2$ 的标准形式.

推导

二次型的定义

一个二次型可以表示为：

$$Q(\mathbf{x})=a{x}^2+bxy+c{y}^2={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$$

其中，$\mathbf{x}$ 是一个二维列向量：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],$$

$A$ 是一个对称矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b/2\\ b/2& c\end{array}\right].$$

例如，对于 $3x^2+2xy+3y^2$，矩阵 $A$ 为：

$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right].$$

特征值分解

对称矩阵 $A$ 可以进行特征值分解：

$$A=PD{P}^{-1}$$

其中：

• $P$ 是 $A$ 的特征向量矩阵；
• $D$ 是对角矩阵，由 $A$ 的特征值构成。

由于 $A$ 是对称矩阵，其特征向量是正交的。通过归一化处理，$P$ 可构成正交矩阵，满足：

$$P^T=P^{-1}.$$

化简过程

将特征值分解代入二次型：

$$Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{x}}^T(PD{P}^T)\mathbf{x}.$$

设 $\mathbf{y}=P^T\mathbf{x}$，则 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$。将其代入得：

$$Q(\mathbf{x})=(P\mathbf{y}{)}^{T}A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}AP\mathbf{y}.$$

由于 $P^{T}AP=D$，得到：

$$Q(\mathbf{x})={\mathbf{y}}^{T}D\mathbf{y}.$$

其中，$D$ 是对角矩阵：

$$D=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right],$$

${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是 $A$ 的特征值。

二次型的标准形式

在新坐标系 $\mathbf{y}$ 下，二次型化为：

$$Q(\mathbf{x})={\lambda }_1(y_1{)}^2+{\lambda }_2(y_2{)}^2.$$

此时，二次型的交叉项 $y_1{y}_2$ 消失，二次型被化为只含 $(y_1{)}^2$ 和 $(y_2{)}^2$ 的标准形式。

示例

对于矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$$

解特征值方程：

$$\det (A-\lambda I)=0.$$

即：

$$\det \left[\begin{array}{cc}3-\lambda & 1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right]=(3-\lambda {)}^2-1=0.$$

展开得：

$${\lambda }^2-6\lambda +8=0.$$

求根：

$${\lambda }_1=4,{\lambda }_2=2.$$

特征向量的求解

对应 ${\lambda }_1=4$，解 $(A-4I)\mathbf{v}=0$：

$$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right].$$

得到特征向量：

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right].$$

对应 ${\lambda }_2=2$，解 $(A-2I)\mathbf{v}=0$：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right].$$

得到特征向量：

$${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right].$$

归一化后，特征向量矩阵 $P$ 为：

$$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right].$$

结果

通过正交变换，二次型 $3x^2+2xy+3y^2$ 在新坐标系下化为标准形式：

$$Q(\mathbf{x})=4(y_1{)}^2+2(y_2{)}^2.$$