零空间

定义

如果 $A$ 是矩阵, 它的零空间就是所有向量空间的线性子空间, 这个线性子空间的维度称为 $A$ 的零化度(Nullity)

在线性代数中，矩阵$A$的零空间(Null Space)是指所有满足$A\mathbf{v}=0$的向量$\mathbf{v}$的集合。这个集合是一个线性子空间。

给定一个代表线性变换的 $m\times n$ 矩阵 $A$，其核或零空间被定义为：

$$\text{Ker}(A)=\text{Null}(A)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=0\}$$

零空间也可以用特征空间来定义，它本身是零空间的一个特殊应用:
$\text{Ker}(A-\lambda I)=\text{Null}(A-\lambda I)=\{v\mid (A-\lambda I)v=0\}$

性质

回顾子空间的定义:

定义

子空间是原向量空间的一个子集, $W\subset V$ ，它本身也构成一个向量空间。

1. 非空性：子空间至少包含原向量空间中的零向量, $0\in W$。
2. 封闭性(向量加法)：子空间中任意两个向量的加法仍然在子空间中, $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in W$, $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$。
3. 封闭性(标量乘法)：子空间中的任意向量与任意标量的乘积仍然在子空间中, $c\mathbf{u}\in W$

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零空间是线性子空间，因为它满足上述三个条件.

秩-零化度定理

秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem): 对于一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，其秩 (rank, 主元列的数量) 加上其零化度 (nullity, 自由变量的数量) 等于矩阵的列数 $n$。

$$\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n$$

在上面的例子中，$A$ 是一个 $3\times 4$ 矩阵，$\text{rank}(A)=2$，$\text{nullity}(A)=2$，满足 $2+2=4$。

计算

求解一个矩阵 $A$ 的核（零空间）就是求解齐次线性方程组 $Ax=0$。标准步骤如下：

1. 高斯消元: 对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为 行最简形矩阵 (RREF)。
2. 识别变量: 在 RREF 形式中，确定 主元变量 (pivot variables, 对应主元列) 和 自由变量 (free variables, 对应非主元列)。
3. 表示通解: 从 RREF 写出对应的方程组，将主元变量用自由变量来表示。
4. 构建基向量: 将通解写成向量形式，并将其分解为自由变量的线性组合。组合中的这些向量就构成了核（零空间）的一组 基 (Basis)。
5. 确定维数: 基向量的数量就是核的 维数，即零化度 (Nullity)。

零空间的计算过程

示例

设矩阵$A$为一个$3\times 4$的矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 2& 0& 3\end{array}\right]$$

1. 求矩阵的秩（Rank）：
   将矩阵$A$化简为行最简形：

$$1REF(A)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

矩阵的秩是非零行的数量，这里为2。
2. 计算零化度（Nullity）：
零化度为列数减去秩：

$$\text{Nullity}(A)=4-2=2$$

这意味着零空间是一个2维的子空间，其中包含所有满足$A\mathbf{v}=0$的向量$\mathbf{v}$。