巡回行列

定义

在线性代数中，循环矩阵是一种特殊形式的 Toeplitz矩阵，它的列向量的每个元素都是前一个列向量各元素依次右移一个位置得到的结果。由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵，所以在数值分析中有重要的应用。

$$\left[\begin{array}{ccccc}{c}_0& c_{n-1}& \dots & c_2& c_1\\ c_1& c_0& c_{n-1}& & c_2\\ ⋮& c_1& c_0& \ddots & ⋮\\ c_{n-2}& & \ddots & \ddots & c_{n-1}\\ c_{n-1}& c_{n-2}& \dots & c_1& c_0\end{array}\right]$$

性质

循环矩阵遵循代数运算法则。对于两个循环矩阵 ”A” 与 ”B” 来说，”A” + ”B” 也是循环矩阵。”AB” 也是循环矩阵，并且 $AB\; =\; BA$。

循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵，因此循环矩阵的特征值可以很容易地通过快速傅立叶变换计算出来。
具体对应关系为
${\lambda }_j=c_0+c_{n-1}{\omega }_j+c_{n-2}{\omega }_j^2+\dots +c_1{\omega }_j^{n-1},j=0,1,\dots ,n-1$

其中
${\omega }_j=\exp \left(i\frac{2\pi j}{n}\right)$