特征值

特征值和特征向量描述了线性变换中的不变量.
当对向量进行线性变换时, 这个线性变换不改变向量的方向, 仅改变向量的长度, 这等效于一个标量与向量数乘. 这个标量就是特征值, 描述了线性变换在特定向量上的缩放因子

定义

对于一个给定的 $n\times n$ 矩阵 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个标量 $\lambda$，使得矩阵方程
$Av=\lambda v$
成立，则 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值
$v$ 称为与 $\lambda$ 对应的特征向量。
可以通过求解特征方程来找到特征值：
$\det (A-\lambda I)=0$

性质

1. 特征值的数量：一个$n\times n$矩阵有$n$个特征值（包括复数特征值和重根）
2. 迹和行列式：矩阵 $A$ 的特征值之和等于矩阵 $A$ 的迹（对角线元素之和）
3. 特征值的乘积等于矩阵 $A$ 的行列式
4. 对称矩阵：对称矩阵的特征值全是实数

示例

Example

矩阵 $A$：

$A=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right]$

解特征方程

$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=0$

$(4-\lambda )(3-\lambda )-2=0$

得特征值

${\lambda }_1=5,{\lambda }_2=2$

重数

代数重数

特征值作为根在矩阵特征多项式的出现次数

Link to original

几何重数

与选定特征值相关的特征向量的零化度, 或最大线性无关集合的数量, 是该特征值所构成的特征空间 (零空间) 的维度.

Link to original

示例

考虑一个 $3\times 3$ 的矩阵 $A$：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$$

计算特征多项式：

$$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{ccc}3-\lambda & 1& 0\\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0& 0& 2-\lambda \end{array}\right]=(3-\lambda {)}^2(2-\lambda )$$

从这个特征多项式中可以看出特征值 $3$ 和 $2$。
特征值 $3$ 在多项式中出现了两次，因此其代数重数是 $2$。
特征值 $2$ 出现了一次，因此其代数重数是 $1$。

计算各特征值对应的特征向量：

• 对于 $\lambda =3$，解方程 $(A-3I)v=0$ 得到：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]v=0$$

从这个简化后的矩阵中，我们发现对于 $\lambda =3$ 的特征向量的自由变量有一个，因此几何重数是 $1$。

• 对于 $\lambda =2$，解方程 $(A-2I)v=0$ 得到：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]v=0$$

这里只有一个自由变量，因此几何重数也是 $1$。

结论

在这个例子中，特征值 $3$ 的代数重数为 $2$，但几何重数为 $1$，表明 $A$ 对于 $\lambda =3$ 不完全可对角化（几何重数小于代数重数）。特征值 $2$ 的代数重数和几何重数都是 $1$，表示它完全可对角化。
这个区分对理解矩阵的结构和求解与矩阵相关的问题（如解线性方程组或寻找矩阵的稳定性）非常重要。

复特征根

当矩阵的特征值为复数时，它表示矩阵对应的线性变换不仅包含缩放，还包含旋转。

复特征根出现在矩阵的特征多项式有共轭复数根时。设矩阵 $A$ 的特征值为复数 $\lambda =\alpha +i\beta$ 和其共轭 $\bar{\lambda }=\alpha -i\beta$，对应的特征向量为复向量 $v$ 和 $\bar{v}$。

当 $A$ 为实矩阵时，可通过复特征向量的实部和虚部构造一组实解。假设 $v=u+iw$，则 $A$ 的解为：

$$x(t)=e^{\alpha t}[\cos (\beta t)u-\sin (\beta t)w]$$

和

$$x(t)=e^{\alpha t}[\sin (\beta t)u+\cos (\beta t)w]$$

这些解表现为指数衰减或增长的旋转形式，广泛用于描述振荡或波动现象。