R05-数学-向量分析

ベクトル解析

直交座標系において、$x$、$y$、$z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$ とする。ベクトル場 $\mathbf{F}$ を $\mathbf{F}=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ とする。次の各問に答えよ。
(1) $C$ を $x^2+y^2=4$, $z=0$ で定義される円とする。次に示す $C_1$ および $C_2$ に沿った線積分

$${\int }_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\text{および}{\int }_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

を求めよ。
(a) $C_1$: $C$ 上を点 $A(1,\sqrt{3},0)$ から点 $B(-1,\sqrt{3},0)$ まで反時計回りに向かう曲線
(b) $C_2$: $C$ 上を点 $A(1,\sqrt{3},0)$ から点 $B(-1,\sqrt{3},0)$ まで時計回りに向かう曲線
(2) $S$ を半球面 $x^2+y^2+z^2=4$ ($0\le z$) と平面 $z=0$ で囲まれた領域の境界とする。面積分

$${\int }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

を求めよ。外向き法線ベクトルを用いよ。

Vector analysis

中文翻译

在直角坐标系中，$x$、$y$、$z$ 轴方向的单位向量分别为 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$。向量场 $\mathbf{F}$ 定义为 $\mathbf{F}=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}+z\mathbf{k}$。请回答以下问题。
(1) 设 $C$ 为由 $x^2+y^2=4$, $z=0$ 定义的圆。计算沿以下曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的线积分

$${\int }_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\text{和}{\int }_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

(a) $C_1$: 从点 $A(1,\sqrt{3},0)$ 到点 $B(-1,\sqrt{3},0)$ 沿 $C$ 逆时针方向的曲线
(b) $C_2$: 从点 $A(1,\sqrt{3},0)$ 到点 $B(-1,\sqrt{3},0)$ 沿 $C$ 顺时针方向的曲线
(2) 设 $S$ 为由半球面 $x^2+y^2+z^2=4$ ($0\le z$) 和平面 $z=0$ 围成的区域的边界。计算面积分

$${\int }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

使用外法线向量。

解答

(1)

(a) 参数化曲线 $C_1$ 为 $\mathbf{r}(t)=(2\cos t,2\sin t,0)$，$t\in [0,\pi ]$。计算线积分得

$${\int }_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^{\pi }(-4{\sin }^{2}t-4{\cos }^{2}t)dt=-4\pi$$

(b) 参数化曲线 $C_2$ 为 $\mathbf{r}(t)=(2\cos t,2\sin t,0)$，$t\in [\pi ,2\pi ]$。计算线积分得

$${\int }_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{\pi }^{2\pi }(-4{\sin }^{2}t-4{\cos }^{2}t)dt=-4\pi$$

(2)

计算 $\nabla \times \mathbf{F}=(-1,-1,-2)$。根据斯托克斯定理，面积分等于线积分，结果为 $-4\pi$。